Effetto Doppler acustico: esercizi svolti

L’effetto Doppler è la variazione di frequenza percepita quando sorgente e osservatore sono in moto relativo nel mezzo. La formula generale (suono, velocità $v$ nel mezzo) è:

$f'=f\,\dfrac{v\pm v_O}{v\mp v_S},$

dove $v_O$ è la velocità dell’osservatore e $v_S$ quella della sorgente. Regola dei segni: si scelgono i segni in modo che la frequenza percepita aumenti in avvicinamento e diminuisca in allontanamento. Quando la sorgente supera la velocità del suono ( $v_S>v$ ) si forma un’onda d’urto conica (cono di Mach).

1. Sorgente in avvicinamento

Esercizio. Un’ambulanza (sirena $f=700\ \text{Hz}$ ) si avvicina a un osservatore fermo a $v_S=30\ \text{m/s}$ ( $v=340\ \text{m/s}$ ). Quale frequenza percepita?

Sorgente che si avvicina: denominatore $v-v_S$ (frequenza più alta):

$f'=f\,\dfrac{v}{v-v_S}=700\times\dfrac{340}{340-30}=700\times\dfrac{340}{310}=768\ \text{Hz}.$

2. Sorgente in allontanamento

Esercizio. La stessa ambulanza, dopo il passaggio, si allontana a $v_S=30\ \text{m/s}$ . Quale frequenza ora?

Sorgente che si allontana: denominatore $v+v_S$ :

$f'=f\,\dfrac{v}{v+v_S}=700\times\dfrac{340}{370}=643\ \text{Hz}.$

Il salto di frequenza al passaggio ( $768\to643\ \text{Hz}$ ) è il caratteristico “calo” della sirena.

3. Osservatore in avvicinamento

Esercizio. Una sorgente ferma emette $f=500\ \text{Hz}$ ; un osservatore le va incontro a $v_O=20\ \text{m/s}$ ( $v=340\ \text{m/s}$ ). Quale frequenza percepita?

Osservatore che si avvicina: numeratore $v+v_O$ :

$f'=f\,\dfrac{v+v_O}{v}=500\times\dfrac{340+20}{340}=500\times\dfrac{360}{340}=529\ \text{Hz}.$

4. Osservatore in allontanamento

Esercizio. Lo stesso osservatore si allontana dalla sorgente ferma a $v_O=20\ \text{m/s}$ . Quale frequenza?

Numeratore $v-v_O$ :

$f'=f\,\dfrac{v-v_O}{v}=500\times\dfrac{320}{340}=471\ \text{Hz}.$

5. Sorgente e osservatore — confronto

Esercizio. Confrontare la frequenza percepita quando (a) la sorgente si avvicina a $25\ \text{m/s}$ all’osservatore fermo, e (b) l’osservatore si avvicina a $25\ \text{m/s}$ alla sorgente ferma ( $f=600\ \text{Hz}$ , $v=340\ \text{m/s}$ ).

(a) Sorgente in moto: $f'=600\times\dfrac{340}{340-25}=600\times\dfrac{340}{315}=648\ \text{Hz}$ .

(b) Osservatore in moto: $f'=600\times\dfrac{340+25}{340}=600\times\dfrac{365}{340}=644\ \text{Hz}$ .

I due casi non sono equivalenti: l’effetto dipende da chi si muove rispetto al mezzo (per velocità piccole la differenza è lieve, ma esiste).

6. Moto combinato — avvicinamento reciproco

Esercizio. Un treno (fischio $f=400\ \text{Hz}$ ) avanza a $v_S=35\ \text{m/s}$ verso un’auto che gli va incontro a $v_O=25\ \text{m/s}$ ( $v=340\ \text{m/s}$ ). Quale frequenza percepita?

Entrambi in avvicinamento: numeratore $+v_O$ , denominatore $-v_S$ :

$f'=f\,\dfrac{v+v_O}{v-v_S}=400\times\dfrac{340+25}{340-35}=400\times\dfrac{365}{305}=479\ \text{Hz}.$

7. Moto combinato — allontanamento reciproco

Esercizio. Dopo l’incrocio, treno e auto si allontanano ( $v_S=35\ \text{m/s}$ , $v_O=25\ \text{m/s}$ ). Quale frequenza?

Entrambi in allontanamento: numeratore $-v_O$ , denominatore $+v_S$ :

$f'=f\,\dfrac{v-v_O}{v+v_S}=400\times\dfrac{340-25}{340+35}=400\times\dfrac{315}{375}=336\ \text{Hz}.$

8. Velocità della sorgente da una misura

Esercizio. Un osservatore fermo misura $f'=540\ \text{Hz}$ da una sorgente in avvicinamento che emette $f=500\ \text{Hz}$ ( $v=340\ \text{m/s}$ ). Quale velocità della sorgente?

Da $f'=f\,\dfrac{v}{v-v_S}$ si ricava $v_S=v\left(1-\dfrac{f}{f'}\right)$ :

$v_S=340\left(1-\dfrac{500}{540}\right)=340\times\dfrac{40}{540}=340\times0{,}0741=25{,}2\ \text{m/s}.$

È il principio dell’autovelox acustico/radar.

9. Doppler con riflessione (radar/ecografia)

Esercizio. Un’onda $f=1000\ \text{Hz}$ è inviata verso un’auto in avvicinamento a $v_S=20\ \text{m/s}$ e torna indietro riflessa ( $v=340\ \text{m/s}$ ). Quale frequenza dell’eco ricevuta?

L’auto fa prima da osservatore in moto, poi da sorgente in moto: il Doppler agisce due volte (approssimazione $f'\approx f\,\dfrac{v+v_S}{v-v_S}$ ):

$f'=1000\times\dfrac{340+20}{340-20}=1000\times\dfrac{360}{320}=1125\ \text{Hz}.$

Lo spostamento doppio rende il metodo sensibile alle velocità (effetto usato in ecodoppler e radar).

10. Cono di Mach (sorgente supersonica)

Esercizio. Un aereo vola a $v_S=510\ \text{m/s}$ ( $v_\text{suono}=340\ \text{m/s}$ ). Quale numero di Mach e quale semiapertura del cono d’urto?

Passo 1 — numero di Mach. $M=v_S/v=510/340=1{,}5$ .

Passo 2 — angolo del cono ( $\sin\alpha=v/v_S=1/M$ ):

$\sin\alpha=\dfrac{1}{1{,}5}=0{,}667\ \Rightarrow\ \alpha=41{,}8°.$

Oltre la velocità del suono ( $M>1$ ) non c’è più Doppler ordinario ma un fronte d’urto conico (boom sonico).

11. Approssimazione per basse velocità

Esercizio. Una sorgente si avvicina lentamente a un osservatore fermo con $v_S=5{,}0\ \text{m/s}$ , emettendo $f=1000\ \text{Hz}$ . Stimare lo spostamento di frequenza usando l’approssimazione a basse velocità ( $v=340\ \text{m/s}$ ).

Per velocità piccole rispetto a quella del suono:

\dfrac{\Delta f}{f}\approx\dfrac{v_S}{v}

in avvicinamento. Quindi:

\Delta f\approx f\dfrac{v_S}{v} =1000\times\dfrac{5{,}0}{340} =14{,}7\ \text{Hz}.

La frequenza percepita è circa:

f'\approx1000+14{,}7=1015\ \text{Hz}.

La formula esatta darebbe $1000\times340/(340-5)=1014{,}9\ \text{Hz}$ : l’approssimazione è ottima quando $v_S$ è molto minore di $v$ .

12. Moto obliquo: componente radiale

Esercizio. Una sorgente emette $f=800\ \text{Hz}$ e si muove a $v_S=40\ \text{m/s}$ formando un angolo di $60°$ con la linea sorgente-osservatore. Considerando solo la componente lungo la linea di vista, quale frequenza percepisce un osservatore fermo durante l’avvicinamento? ( $v=340\ \text{m/s}$ ).

Conta la componente radiale della velocità:

v_{S,r}=v_S\cos60°=40\times0{,}5=20\ \text{m/s}.

Per avvicinamento della sorgente:

f'=f\dfrac{v}{v-v_{S,r}} =800\times\dfrac{340}{340-20} =800\times\dfrac{340}{320} =850\ \text{Hz}.

La componente trasversale non modifica direttamente la frequenza istantanea: cambia invece la geometria nel tempo, quindi la componente radiale varia durante il passaggio.

13. Velocità dalla differenza tra avvicinamento e allontanamento

Esercizio. Una sirena emette frequenza ignota $f$ . Un osservatore fermo misura $f_a=900\ \text{Hz}$ in avvicinamento e $f_r=780\ \text{Hz}$ in allontanamento. Stimare la velocità della sorgente ( $v=340\ \text{m/s}$ ).

Per sorgente in moto:

f_a=f\dfrac{v}{v-v_S},\qquad f_r=f\dfrac{v}{v+v_S}.

Facendo il rapporto:

\dfrac{f_a}{f_r}=\dfrac{v+v_S}{v-v_S}.

Indichiamo $R=f_a/f_r=900/780=1{,}154$ . Allora:

R(v-v_S)=v+v_S \quad\Rightarrow\quad v_S=v\dfrac{R-1}{R+1}.

Numericamente:

v_S=340\dfrac{1{,}154-1}{1{,}154+1} =340\dfrac{0{,}154}{2{,}154} =24{,}3\ \text{m/s}.

Questo metodo elimina la frequenza propria della sirena: usa solo il rapporto tra frequenze misurate prima e dopo il passaggio.

Sintesi

Caso	Formula
Formula generale	$f'=f\,(v\pm v_O)/(v\mp v_S)$
Sorgente in avvicinamento	$f'=f\,v/(v-v_S)$
Osservatore in avvicinamento	$f'=f\,(v+v_O)/v$
Moto combinato (avvicinamento)	$f'=f\,(v+v_O)/(v-v_S)$
Riflessione (radar)	$f'\approx f\,(v+v_S)/(v-v_S)$
Cono di Mach	$\sin\alpha=v/v_S=1/M$
Basse velocità	$\Delta f/f\approx v_r/v$
Moto obliquo	usare la componente radiale $v_r$

Errori da evitare:

sbagliare la regola dei segni: in avvicinamento la frequenza deve sempre aumentare (verifica il risultato);
credere che sorgente in moto e osservatore in moto diano lo stesso risultato (sono asimmetrici);
dimenticare il doppio effetto Doppler nelle misure con riflessione (radar, ecodoppler);
applicare la formula Doppler ordinaria a sorgenti supersoniche ( $M>1$ ): lì si forma un cono d’urto;
usare la velocità totale in un moto obliquo invece della sola componente lungo la linea di vista.