Dielettrici e polarizzazione: esercizi svolti

Un dielettrico (isolante) immerso in un campo elettrico si polarizza: le cariche si spostano leggermente creando dipoli che riducono il campo interno. Le grandezze chiave:

costante dielettrica relativa $\varepsilon_r$ (o $\kappa$ ): di quanto il materiale riduce il campo;
vettore polarizzazione $P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E$ ;
suscettività elettrica $\chi_e=\varepsilon_r-1$ ;
spostamento elettrico $D=\varepsilon_0\varepsilon_r E=\varepsilon_0 E+P$ .

Il campo dentro il dielettrico è ridotto: $E=E_0/\varepsilon_r$ (a parità di carica libera). La rigidità dielettrica è il campo massimo prima della scarica.

1. Riduzione del campo nel dielettrico

Esercizio. Un campo $E_0=5{,}0\times10^5\ \text{V/m}$ esiste tra le armature nel vuoto. Inserendo un dielettrico con $\varepsilon_r=4{,}0$ (a carica costante), quale campo interno?

$E=\dfrac{E_0}{\varepsilon_r}=\dfrac{5{,}0\times10^5}{4{,}0}=1{,}25\times10^5\ \text{V/m}.$

Il dielettrico riduce il campo di un fattore $\varepsilon_r$ (le cariche di polarizzazione si oppongono al campo applicato).

2. Vettore polarizzazione

Esercizio. Calcolare la polarizzazione in un dielettrico con $\varepsilon_r=3{,}0$ soggetto a un campo $E=2{,}0\times10^5\ \text{V/m}$ .

$P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E=8{,}85\times10^{-12}\times(3{,}0-1)\times2{,}0\times10^5=8{,}85\times10^{-12}\times2\times2{,}0\times10^5.$

$P=8{,}85\times10^{-12}\times4{,}0\times10^5=3{,}54\times10^{-6}\ \text{C/m}^2.$

3. Suscettività elettrica

Esercizio. Un dielettrico ha $\varepsilon_r=5{,}5$ . Calcolare la suscettività elettrica.

$\chi_e=\varepsilon_r-1=5{,}5-1=4{,}5.$

4. Spostamento elettrico D

Esercizio. Calcolare lo spostamento elettrico in un dielettrico con $\varepsilon_r=4{,}0$ e $E=1{,}5\times10^5\ \text{V/m}$ .

\begin{aligned} D&=\varepsilon_0\varepsilon_r E\\ &=8{,}85\times10^{-12}\times4{,}0\times1{,}5\times10^5\\ &=8{,}85\times10^{-12}\times6{,}0\times10^5\\ &=5{,}31\times10^{-6}\ \text{C/m}^2. \end{aligned}

Lo spostamento $D$ dipende solo dalle cariche libere, non da quelle di polarizzazione: è continuo attraverso l’interfaccia dielettrico-vuoto.

5. Densità di carica di polarizzazione

La carica di polarizzazione superficiale eguaglia la componente normale di $P$ : $\sigma_P=P$ .

Esercizio. Per il dielettrico dell’esercizio 2 ( $P=3{,}54\times10^{-6}\ \text{C/m}^2$ ), quale densità di carica di polarizzazione superficiale?

$\sigma_P=P=3{,}54\times10^{-6}\ \text{C/m}^2.$

Questa carica “legata” appare sulle facce del dielettrico e crea il campo che si oppone a quello applicato.

6. Capacità con dielettrico

Esercizio. Un condensatore piano ha $A=0{,}10\ \text{m}^2$ , $d=2{,}0\ \text{mm}$ , riempito con un dielettrico $\varepsilon_r=6{,}0$ . Capacità?

\begin{aligned} C&=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r A}{d}\\ &=\dfrac{8{,}85\times10^{-12}\times6{,}0\times0{,}10}{2{,}0\times10^{-3}}\\ &=\dfrac{5{,}31\times10^{-12}}{2{,}0\times10^{-3}}\\ &=2{,}66\times10^{-9}\ \text{F}\\ &=2{,}66\ \text{nF}. \end{aligned}

7. Rigidità dielettrica e tensione massima

La rigidità dielettrica $E_\text{max}$ è il campo massimo sopportabile prima della scarica.

Esercizio. Un dielettrico ha rigidità $E_\text{max}=2{,}0\times10^7\ \text{V/m}$ in un condensatore con $d=0{,}50\ \text{mm}$ . Quale tensione massima?

$V_\text{max}=E_\text{max}\times d=2{,}0\times10^7\times0{,}50\times10^{-3}=1{,}0\times10^4\ \text{V}=10\ \text{kV}.$

Oltre questa tensione il dielettrico si “buca” (scarica disruptiva).

8. Energia in un condensatore con dielettrico

Esercizio. Un condensatore con dielettrico ( $C=2{,}66\ \text{nF}$ ) è caricato a $V=500\ \text{V}$ . Energia immagazzinata?

\begin{aligned} U&=\dfrac{1}{2}CV^2\\ &=\dfrac{1}{2}\times2{,}66\times10^{-9}\times500^2\\ &=\dfrac{1}{2}\times2{,}66\times10^{-9}\times2{,}5\times10^5\\ &=3{,}33\times10^{-4}\ \text{J} =0{,}333\ \text{mJ}. \end{aligned}

9. Confronto tra dielettrici

Esercizio. A parità di tensione, quale dielettrico immagazzina più energia: aria ( $\varepsilon_r\approx1$ ) o ceramica ( $\varepsilon_r=100$ )?

Poiché $U=\dfrac{1}{2} CV^2$ e $C\propto\varepsilon_r$ , a parità di $V$ :

$\dfrac{U_\text{ceramica}}{U_\text{aria}}=\dfrac{\varepsilon_{r,\text{ceramica}}}{\varepsilon_{r,\text{aria}}}=\dfrac{100}{1}=100.$

La ceramica immagazzina $100$ volte più energia: per questo i condensatori ad alta capacità usano dielettrici con $\varepsilon_r$ elevata.

10. Forza su un dielettrico

Esercizio. Perché un dielettrico viene “risucchiato” dentro un condensatore carico?

Il sistema tende a minimizzare l’energia (a tensione costante, massimizzare la capacità). Inserire il dielettrico aumenta $C$ e l’energia $\dfrac{1}{2} CV^2$ , ma la batteria fornisce ancora più energia: il bilancio dà una forza attrattiva che tira il dielettrico dentro. È un effetto di bordo del campo non uniforme ai margini delle armature.

11. Condensatore isolato dopo inserimento del dielettrico

Esercizio. Un condensatore isolato ha capacità iniziale $C_0=100\ \text{pF}$ ed è caricato a $V_0=1000\ \text{V}$ . Si inserisce completamente un dielettrico con $\varepsilon_r=4{,}0$ . Calcolare nuova capacità, tensione ed energia.

Poiché il condensatore è isolato, la carica libera resta costante:

Q=C_0V_0.

La nuova capacità è:

C=\varepsilon_r C_0=4{,}0\times100=400\ \text{pF}.

La nuova tensione è:

V=\dfrac{Q}{C}=\dfrac{C_0V_0}{\varepsilon_r C_0}=\dfrac{V_0}{\varepsilon_r} =\dfrac{1000}{4{,}0}=250\ \text{V}.

L’energia passa da $U_0=\dfrac{1}{2} C_0V_0^2$ a:

U=\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac{U_0}{\varepsilon_r}.

Quindi:

U_0=\dfrac{1}{2}\times100\times10^{-12}\times1000^2=5{,}0\times10^{-5}\ \text{J},

U=\dfrac{5{,}0\times10^{-5}}{4{,}0}=1{,}25\times10^{-5}\ \text{J}.

La differenza di energia si trasforma in lavoro meccanico durante l’ingresso del dielettrico.

12. Condensatore collegato a batteria

Esercizio. Lo stesso condensatore resta collegato a una batteria da $1000\ \text{V}$ mentre si inserisce il dielettrico con $\varepsilon_r=4{,}0$ . Come cambiano carica ed energia?

A tensione costante la batteria mantiene $V=V_0$ . La capacità diventa ancora $C=400\ \text{pF}$ , quindi la carica libera cresce:

Q=CV=\varepsilon_r C_0V_0=\varepsilon_r Q_0.

Numericamente, se $Q_0=100\times10^{-12}\times1000=1{,}0\times10^{-7}\ \text{C}$ :

Q=4{,}0\times10^{-7}\ \text{C}.

L’energia elettrica nel condensatore diventa:

U=\dfrac{1}{2} CV^2=\varepsilon_r U_0=4{,}0\times5{,}0\times10^{-5}=2{,}0\times10^{-4}\ \text{J}.

Qui l’energia del campo aumenta, perché la batteria compie lavoro fornendo carica aggiuntiva. Questo è il caso opposto al condensatore isolato.

13. Interfaccia tra due dielettrici

Esercizio. Due dielettrici piani sono attraversati dallo stesso spostamento normale $D_n=2{,}0\times10^{-6}\ \text{C/m}^2$ . Il primo ha $\varepsilon_{r1}=2{,}0$ , il secondo $\varepsilon_{r2}=5{,}0$ . Calcolare i campi normali $E_1$ ed $E_2$ .

In assenza di carica libera sull’interfaccia, la componente normale di $D$ è continua:

D_{1n}=D_{2n}=D_n.

Il campo elettrico in ciascun materiale è:

E=\dfrac{D}{\varepsilon_0\varepsilon_r}.

Quindi:

E_1=\dfrac{2{,}0\times10^{-6}}{8{,}85\times10^{-12}\times2{,}0} =1{,}13\times10^5\ \text{V/m},

E_2=\dfrac{2{,}0\times10^{-6}}{8{,}85\times10^{-12}\times5{,}0} =4{,}52\times10^4\ \text{V/m}.

Il campo è minore nel dielettrico con permittività relativa maggiore. La continuità riguarda $D_n$ , non necessariamente $E_n$ .

Sintesi

Grandezza	Formula
Campo ridotto	$E=E_0/\varepsilon_r$
Polarizzazione	$P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E$
Suscettività	$\chi_e=\varepsilon_r-1$
Spostamento	$D=\varepsilon_0\varepsilon_r E$
Capacità	$C=\varepsilon_0\varepsilon_r A/d$
Tensione max	$V_\text{max}=E_\text{max}d$
Condensatore isolato	$Q$ costante, $V$ e $U$ diminuiscono di $\varepsilon_r$
Condensatore con batteria	$V$ costante, $Q$ e $U$ aumentano di $\varepsilon_r$
Interfaccia senza carica libera	$D_{1n}=D_{2n}$

$D$ dipende solo dalle cariche libere; $P$ e le cariche di polarizzazione sono effetti del materiale.

Errori da evitare:

confondere $\varepsilon_r$ (relativa, adimensionale) con $\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$ (assoluta);
dimenticare che il campo si riduce a carica costante ma resta uguale a tensione costante;
usare lo stesso bilancio energetico per condensatore isolato e condensatore collegato a batteria;
confondere cariche libere (in $D$ ) e cariche di polarizzazione (in $P$ ).