Lunghezza d’onda di de Broglie e principio di indeterminazione: esercizi svolti

Il dualismo onda-particella assegna a ogni particella di quantità di moto $p$ una lunghezza d’onda di de Broglie:

$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{mv},\qquad h=6{,}63\times10^{-34}\ \text{J·s}.$

Il principio di indeterminazione di Heisenberg pone un limite alla precisione simultanea di coppie di grandezze coniugate:

\begin{aligned} \Delta x\,\Delta p&\ge\dfrac{\hbar}{2},\\ \Delta E\,\Delta t&\ge\dfrac{\hbar}{2},\\ \hbar&=\dfrac{h}{2\pi} =1{,}055\times10^{-34}\ \text{J·s}. \end{aligned}

Gli effetti ondulatori sono rilevabili solo per particelle leggere e lente (λ apprezzabile); per oggetti macroscopici λ è trascurabile.

1. Lunghezza d’onda di de Broglie di un elettrone

Esercizio. Quale lunghezza d’onda di un elettrone ( $m=9{,}11\times10^{-31}\ \text{kg}$ ) a $v=1{,}0\times10^6\ \text{m/s}$ ?

\begin{aligned} \lambda &=\dfrac{h}{mv}\\ &=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}} {9{,}11\times10^{-31}\times1{,}0\times10^6}\\ &=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}}{9{,}11\times10^{-25}}\\ &=7{,}28\times10^{-10}\ \text{m}\\ &\approx0{,}73\ \text{nm}. \end{aligned}

Paragonabile alle distanze atomiche: per questo gli elettroni diffrangono sui cristalli.

2. Lunghezza d’onda di un oggetto macroscopico

Esercizio. Quale lunghezza d’onda di una palla da tennis ( $m=0{,}057\ \text{kg}$ ) a $v=30\ \text{m/s}$ ?

\begin{aligned} \lambda &=\dfrac{h}{mv}\\ &=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}}{0{,}057\times30}\\ &=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}}{1{,}71}\\ &=3{,}9\times10^{-34}\ \text{m}. \end{aligned}

Inimmaginabilmente piccola ( $\sim10^{-34}\ \text{m}$ ): nessun effetto ondulatorio osservabile sui corpi macroscopici.

3. de Broglie da energia cinetica

Esercizio. Quale lunghezza d’onda di un elettrone con energia cinetica $K=100\ \text{eV}$ (non relativistico)?

Passo 1 — quantità di moto ( $K=p^2/2m\Rightarrow p=\sqrt{2mK}$ , con $K=100\times1{,}602\times10^{-19}=1{,}602\times10^{-17}\ \text{J}$ ):

\begin{aligned} p &=\sqrt{2\times9{,}11\times10^{-31}\times1{,}602\times10^{-17}}\\ &=\sqrt{2{,}92\times10^{-47}}\\ &=5{,}40\times10^{-24}\ \text{kg·m/s}. \end{aligned}

Passo 2 — lunghezza d’onda.

\begin{aligned} \lambda &=\dfrac{h}{p}\\ &=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}}{5{,}40\times10^{-24}}\\ &=1{,}23\times10^{-10}\ \text{m}\\ &=0{,}123\ \text{nm}. \end{aligned}

4. de Broglie e ddp acceleratrice

Esercizio. Un elettrone è accelerato da una ddp $\Delta V=150\ \text{V}$ . Quale lunghezza d’onda di de Broglie?

Per elettroni non relativistici vale la formula pratica $\lambda=\dfrac{1{,}226}{\sqrt{\Delta V}}\ \text{nm}$ (con $\Delta V$ in volt):

$\lambda=\dfrac{1{,}226}{\sqrt{150}}=\dfrac{1{,}226}{12{,}25}=0{,}100\ \text{nm}.$

A $150\ \text{V}$ la λ è di un decimo di nanometro: è il principio del microscopio elettronico.

5. de Broglie di un protone

Esercizio. Quale lunghezza d’onda di un protone ( $m=1{,}67\times10^{-27}\ \text{kg}$ ) a $v=2{,}0\times10^5\ \text{m/s}$ ?

\begin{aligned} \lambda &=\dfrac{h}{mv}\\ &=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}} {1{,}67\times10^{-27}\times2{,}0\times10^5}\\ &=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}}{3{,}34\times10^{-22}}\\ &=1{,}99\times10^{-12}\ \text{m}\\ &\approx2{,}0\ \text{pm}. \end{aligned}

A parità di velocità il protone ha λ molto minore dell’elettrone (massa $\sim1836$ volte maggiore).

6. Velocità da una lunghezza d’onda richiesta

Esercizio. Quale velocità deve avere un neutrone ( $m=1{,}675\times10^{-27}\ \text{kg}$ ) per avere $\lambda=0{,}10\ \text{nm}$ (utile per diffrazione su cristalli)?

\begin{aligned} v &=\dfrac{h}{m\lambda}\\ &=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}} {1{,}675\times10^{-27}\times0{,}10\times10^{-9}}\\ &=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}}{1{,}675\times10^{-37}}\\ &=3958\ \text{m/s}\\ &\approx4{,}0\times10^3\ \text{m/s}. \end{aligned}

Sono i “neutroni termici” usati nella diffrazione neutronica.

7. Indeterminazione posizione-momento

Esercizio. Un elettrone è confinato in una regione $\Delta x=0{,}10\ \text{nm}$ (dimensione atomica). Quale incertezza minima sulla quantità di moto?

\begin{aligned} \Delta p &\ge\dfrac{\hbar}{2\Delta x}\\ &=\dfrac{1{,}055\times10^{-34}}{2\times0{,}10\times10^{-9}}\\ &=\dfrac{1{,}055\times10^{-34}}{2{,}0\times10^{-10}}\\ &=5{,}3\times10^{-25}\ \text{kg·m/s}. \end{aligned}

8. Velocità minima da confinamento

Esercizio. Per l’elettrone confinato ( $\Delta p\ge5{,}3\times10^{-25}\ \text{kg·m/s}$ ), quale ordine di grandezza della velocità?

\begin{aligned} \Delta v &=\dfrac{\Delta p}{m}\\ &=\dfrac{5{,}3\times10^{-25}}{9{,}11\times10^{-31}}\\ &=5{,}8\times10^5\ \text{m/s}. \end{aligned}

Un elettrone confinato in un atomo non può stare fermo: l’indeterminazione impone velocità dell’ordine di $10^6\ \text{m/s}$ .

9. Indeterminazione energia-tempo — larghezza di riga

Esercizio. Uno stato eccitato di un atomo ha vita media $\Delta t=1{,}0\times10^{-8}\ \text{s}$ . Quale incertezza minima sull’energia (larghezza naturale della riga)?

\begin{aligned} \Delta E &\ge\dfrac{\hbar}{2\Delta t}\\ &=\dfrac{1{,}055\times10^{-34}}{2\times1{,}0\times10^{-8}}\\ &=5{,}3\times10^{-27}\ \text{J}\\ &=3{,}3\times10^{-8}\ \text{eV}. \end{aligned}

Stati a vita breve hanno righe spettrali più larghe (relazione fondamentale in spettroscopia).

10. Confronto micro-macro nell’indeterminazione

Esercizio. Una pallina ( $m=1{,}0\ \text{g}$ ) è localizzata con $\Delta x=1{,}0\ \mu\text{m}$ . Quale indeterminazione sulla velocità? Confrontare con l’elettrone.

\begin{aligned} \Delta v &\ge\dfrac{\hbar}{2m\Delta x}\\ &=\dfrac{1{,}055\times10^{-34}} {2\times1{,}0\times10^{-3}\times1{,}0\times10^{-6}}\\ &=5{,}3\times10^{-26}\ \text{m/s}. \end{aligned}

Incertezza del tutto trascurabile ( $\sim10^{-26}\ \text{m/s}$ ): per i corpi macroscopici il principio di Heisenberg non ha effetti misurabili, a differenza dell’elettrone ( $\sim10^6\ \text{m/s}$ ).

11. Energia minima da confinamento

Esercizio. Usare l’indeterminazione per stimare l’energia cinetica minima di un elettrone confinato in $\Delta x=0{,}10\ \text{nm}$ .

Dal punto 7:

\Delta p\ge5{,}3\times10^{-25}\ \text{kg m/s}.

Una stima dell’energia cinetica minima è:

K\sim\dfrac{(\Delta p)^2}{2m}.

Quindi:

K\sim\dfrac{(5{,}3\times10^{-25})^2}{2\cdot9{,}11\times10^{-31}} =\dfrac{2{,}81\times10^{-49}}{1{,}82\times10^{-30}} =1{,}54\times10^{-19}\ \text{J}.

In elettronvolt:

K\approx\dfrac{1{,}54\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}} =0{,}96\ \text{eV}.

Il confinamento spaziale impone energia cinetica non nulla: è la stessa idea fisica dietro l’energia di punto zero.

12. Quando serve la correzione relativistica

Esercizio. Un elettrone è accelerato da $\Delta V=100\ \text{kV}$ . È ancora ragionevole usare la formula non relativistica $\lambda=1{,}226/\sqrt{\Delta V}\ \text{nm}$ ?

L’energia cinetica è:

K=e\Delta V=100\ \text{keV}.

L’energia di riposo dell’elettrone è:

m_ec^2=511\ \text{keV}.

Il rapporto è:

\dfrac{K}{m_ec^2}=\dfrac{100}{511}=0{,}196.

Quasi il $20\%$ dell’energia di riposo: gli effetti relativistici non sono più trascurabili se serve precisione. La formula non relativistica dà una stima utile, ma in microscopia elettronica ad alta tensione si usa la relazione relativistica tra energia e quantità di moto.

13. Risoluzione e lunghezza d’onda

Esercizio. Perché ridurre la lunghezza d’onda degli elettroni migliora la risoluzione di un microscopio elettronico?

La diffrazione limita la risoluzione: in modo qualitativo, dettagli molto più piccoli della lunghezza d’onda non sono distinguibili. Aumentando la quantità di moto degli elettroni:

\lambda=\dfrac{h}{p}

diminuisce. Elettroni accelerati da tensioni elevate hanno lunghezze d’onda dell’ordine di picometri o decimi di nanometro, molto inferiori alla luce visibile.

Per questo il microscopio elettronico può risolvere strutture nanometriche o atomiche, mentre un microscopio ottico è limitato dalla lunghezza d’onda della luce visibile.

Sintesi

Concetto	Formula
de Broglie	$\lambda=h/(mv)=h/p$
de Broglie da $K$	$p=\sqrt{2mK}$
Elettrone da ddp	$\lambda=1{,}226/\sqrt{\Delta V}\ \text{nm}$
Indeterminazione posizione-momento	$\Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2$
Indeterminazione energia-tempo	$\Delta E\,\Delta t\ge\hbar/2$
Energia da confinamento	$K\sim(\Delta p)^2/(2m)$

Errori da evitare:

confondere $h$ e $\hbar=h/2\pi$ nelle relazioni di Heisenberg;
applicare la formula non relativistica $p=\sqrt{2mK}$ a elettroni ultrarelativistici (usare allora $E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$ );
credere che il dualismo dia effetti misurabili su oggetti macroscopici (λ è $\sim10^{-34}\ \text{m}$ );
trattare l’indeterminazione come un limite strumentale: è intrinseca, non dipende dalla qualità della misura;
confondere lunghezza d’onda di de Broglie (materia) con quella di un fotone ( $\lambda=hc/E$ ).
usare formule non relativistiche per elettroni accelerati a energie confrontabili con $m_ec^2$ .