Corrente, resistenza e legge di Ohm: esercizi svolti

La corrente elettrica è il flusso di carica: $I=\dfrac{Q}{t}$ , misurata in ampere (A). La legge di Ohm lega tensione, corrente e resistenza:

$V=R\,I.$

La resistenza di un conduttore dipende dal materiale e dalla geometria:

$R=\rho\dfrac{L}{A},$

dove $\rho$ è la resistività (Ω·m), $L$ la lunghezza, $A$ la sezione. La potenza dissipata per effetto Joule: $P=VI=RI^2=V^2/R$ . La resistività varia con la temperatura: $\rho=\rho_0[1+\alpha(T-T_0)]$ .

1. Intensità di corrente

Esercizio. Una carica $Q=30\ \text{C}$ attraversa una sezione di filo in $t=10\ \text{s}$ . Calcolare la corrente.

$I=\dfrac{Q}{t}=\dfrac{30}{10}=3{,}0\ \text{A}.$

2. Carica trasportata

Esercizio. Una corrente $I=2{,}5\ \text{A}$ scorre per $t=4{,}0\ \text{minuti}$ . Quanta carica passa?

$Q=I\,t=2{,}5\times(4{,}0\times60)=2{,}5\times240=600\ \text{C}.$

3. Legge di Ohm: corrente

Esercizio. Una resistenza $R=50\ \Omega$ è collegata a $V=12\ \text{V}$ . Quale corrente?

$I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{12}{50}=0{,}24\ \text{A}.$

4. Resistenza da tensione e corrente

Esercizio. Un dispositivo assorbe $I=0{,}50\ \text{A}$ con una tensione di $V=230\ \text{V}$ . Quale resistenza?

$R=\dfrac{V}{I}=\dfrac{230}{0{,}50}=460\ \Omega.$

5. Resistenza di un filo

Esercizio. Un filo di rame ( $\rho=1{,}7\times10^{-8}\ \Omega\text{·m}$ ) lungo $L=20\ \text{m}$ ha sezione $A=1{,}0\times10^{-6}\ \text{m}^2$ . Calcolare la resistenza.

$R=\rho\dfrac{L}{A}=1{,}7\times10^{-8}\times\dfrac{20}{1{,}0\times10^{-6}}=1{,}7\times10^{-8}\times2{,}0\times10^7=0{,}34\ \Omega.$

6. Effetto della geometria

Esercizio. Se si raddoppia la lunghezza di un filo e si dimezza la sezione, come cambia la resistenza?

Da $R=\rho L/A$ :

$\dfrac{R_2}{R_1}=\dfrac{L_2/A_2}{L_1/A_1}=\dfrac{2L_1/(A_1/2)}{L_1/A_1}=\dfrac{4L_1/A_1}{L_1/A_1}=4.$

La resistenza quadruplica: cresce con $L$ e con l’inverso di $A$ .

7. Resistività dalla resistenza

Esercizio. Un filo lungo $L=5{,}0\ \text{m}$ , sezione $A=2{,}0\times10^{-6}\ \text{m}^2$ , ha $R=0{,}25\ \Omega$ . Calcolare la resistività.

$\rho=\dfrac{RA}{L}=\dfrac{0{,}25\times2{,}0\times10^{-6}}{5{,}0}=\dfrac{5{,}0\times10^{-7}}{5{,}0}=1{,}0\times10^{-7}\ \Omega\text{·m}.$

8. Dipendenza dalla temperatura

Esercizio. Una resistenza di rame ( $\alpha=3{,}9\times10^{-3}\ \text{K}^{-1}$ ) vale $R_0=10\ \Omega$ a $20\ °C$ . Quanto vale a $80\ °C$ ?

La resistenza segue $R=R_0[1+\alpha(T-T_0)]$ :

$R=10\times[1+3{,}9\times10^{-3}\times(80-20)]=10\times[1+3{,}9\times10^{-3}\times60]=10\times[1+0{,}234]=12{,}3\ \Omega.$

La resistenza dei metalli aumenta con la temperatura.

9. Potenza dissipata (effetto Joule)

Esercizio. Una resistenza $R=20\ \Omega$ è percorsa da $I=3{,}0\ \text{A}$ . Quale potenza dissipa?

$P=RI^2=20\times3{,}0^2=20\times9{,}0=180\ \text{W}.$

(Equivalente a $P=VI$ con $V=RI=60\ \text{V}$ : $60\times3{,}0=180\ \text{W}$ .) ✓

10. Energia ed effetto Joule

Esercizio. Una resistenza dissipa $P=100\ \text{W}$ per $t=2{,}0\ \text{ore}$ . Quanta energia (in joule e kWh)?

Passo 1 — energia in joule.

$E=P\,t=100\times(2{,}0\times3600)=100\times7200=7{,}2\times10^5\ \text{J}.$

Passo 2 — in kilowattora.

$E=P\times t=0{,}10\ \text{kW}\times2{,}0\ \text{h}=0{,}20\ \text{kWh}.$

11. Potenza da tensione e resistenza

Esercizio. Una lampadina da $R=576\ \Omega$ funziona a $V=230\ \text{V}$ . Quale potenza?

$P=\dfrac{V^2}{R}=\dfrac{230^2}{576}=\dfrac{52\,900}{576}=91{,}8\ \text{W}.$

12. Resistenze in serie e parallelo

Esercizio. Calcolare la resistenza equivalente di $R_1=10\ \Omega$ e $R_2=20\ \Omega$ in serie e in parallelo.

In serie:

R_s=R_1+R_2=10+20=30\ \Omega.

In parallelo:

\dfrac{1}{R_p}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2} =\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{20} =0{,}15.

Quindi:

R_p=\dfrac{1}{0{,}15}=6{,}67\ \Omega.

In parallelo la resistenza equivalente è minore della più piccola resistenza del gruppo.

13. Partitore di tensione

Esercizio. Due resistenze in serie $R_1=1{,}0\ \text{k}\Omega$ e $R_2=2{,}0\ \text{k}\Omega$ sono alimentate da $V=12\ \text{V}$ . Quale tensione cade su $R_2$ ?

Nel partitore:

V_2=V\dfrac{R_2}{R_1+R_2}.

Quindi:

V_2=12\dfrac{2{,}0}{1{,}0+2{,}0} =12\cdot\dfrac{2}{3} =8{,}0\ \text{V}.

La resistenza maggiore riceve una quota maggiore della tensione, perché in serie la corrente è la stessa.

14. Velocità di deriva

Esercizio. In un filo di rame con sezione $A=1{,}0\ \text{mm}^2$ scorre $I=2{,}0\ \text{A}$ . Stimare la velocità di deriva assumendo densità di portatori $n=8{,}5\times10^{28}\ \text{m}^{-3}$ .

La corrente è:

I=nqAv_d.

Quindi:

v_d=\dfrac{I}{nqA}.

Con $q=1{,}60\times10^{-19}\ \text{C}$ e $A=1{,}0\times10^{-6}\ \text{m}^2$ :

v_d=\dfrac{2{,}0}{(8{,}5\times10^{28})(1{,}60\times10^{-19})(1{,}0\times10^{-6})}.

Il denominatore vale:

8{,}5\times1{,}60\times10^{28-19-6}=13{,}6\times10^3=1{,}36\times10^4.

Quindi:

v_d=1{,}47\times10^{-4}\ \text{m/s}.

Gli elettroni derivano molto lentamente; il segnale elettrico si propaga invece a una frazione significativa della velocità della luce nel circuito.

Sintesi

Concetto	Formula
Corrente	$I=Q/t$
Legge di Ohm	$V=RI$
Resistenza	$R=\rho L/A$
Temperatura	$R=R_0[1+\alpha\Delta T]$
Potenza Joule	$P=VI=RI^2=V^2/R$
Serie	$\displaystyle R_s=\sum R_i$
Parallelo	$\displaystyle 1/R_p=\sum 1/R_i$
Velocità di deriva	$I=nqAv_d$

La resistenza cresce con $L$ , decresce con $A$ , aumenta con $T$ nei metalli.

Errori da evitare:

dimenticare di convertire i tempi in secondi nelle correnti;
usare l’area sbagliata (sezione, non superficie laterale) in $R=\rho L/A$ ;
confondere le tre forme della potenza Joule (usare quella coi dati disponibili).
sommare le resistenze in parallelo come se fossero in serie;
confondere velocità di deriva degli elettroni e velocità di propagazione del segnale.