La convezione trasferisce calore tra una superficie e un fluido in movimento. Il coefficiente di scambio h non è una proprietà del materiale ma dipende dal moto del fluido, calcolato tramite numeri adimensionali:
- Reynolds \text{Re}=\dfrac{\rho v L}{\mu}=\dfrac{vL}{\nu}: rapporto inerzia/viscosità (laminare o turbolento);
- Prandtl \text{Pr}=\dfrac{\mu c_p}{\lambda}=\dfrac{\nu}{\alpha}: rapporto diffusività di quantità di moto/termica (proprietà del fluido);
- Nusselt \text{Nu}=\dfrac{hL}{\lambda}: scambio convettivo adimensionale, da cui si ricava h.
Le correlazioni (es. Dittus-Boelter) legano \text{Nu} a \text{Re} e \text{Pr}.
1. Numero di Reynolds
Esercizio. Acqua (\rho=1000\ \text{kg/m}^3, \mu=1{,}0\times10^{-3}\ \text{Pa·s}) scorre a v=2{,}0\ \text{m/s} in un tubo di diametro D=0{,}05\ \text{m}. Calcolare il numero di Reynolds.
\text{Re}=\dfrac{\rho v D}{\mu}=\dfrac{1000\times2{,}0\times0{,}05}{1{,}0\times10^{-3}}=\dfrac{100}{1{,}0\times10^{-3}}=1{,}0\times10^5.
2. Regime di moto
Esercizio. Per il flusso precedente (\text{Re}=10^5), il moto è laminare o turbolento?
Nei tubi la transizione è attorno a \text{Re}\approx2300:
\text{Re}=10^5\gg2300\ \Rightarrow\ \text{moto turbolento}.
Il moto turbolento favorisce lo scambio termico (mescolamento intenso), dando coefficienti h più alti del laminare.
3. Numero di Prandtl
Esercizio. Calcolare il Prandtl dell’acqua (\mu=1{,}0\times10^{-3}\ \text{Pa·s}, c_p=4186\ \text{J/(kg·K)}, \lambda=0{,}60\ \text{W/(m·K)}).
\text{Pr}=\dfrac{\mu c_p}{\lambda}=\dfrac{1{,}0\times10^{-3}\times4186}{0{,}60}=\dfrac{4{,}186}{0{,}60}=6{,}98.
L’acqua ha \text{Pr}\approx7: la quantità di moto diffonde più del calore. (L’aria ha \text{Pr}\approx0{,}7, i metalli liquidi \text{Pr}\ll1.)
4. Correlazione di Dittus-Boelter
Per convezione forzata turbolenta in tubi: \text{Nu}=0{,}023\,\text{Re}^{0{,}8}\text{Pr}^{n}, con n=0{,}4 in riscaldamento.
Esercizio. Calcolare il numero di Nusselt per l’acqua dell’esercizio 1 (\text{Re}=10^5, \text{Pr}=6{,}98) in riscaldamento.
Passo 1 — \text{Re}^{0{,}8}. \text{Re}^{0{,}8}=(10^5)^{0{,}8}=10^4=10\,000.
Passo 2 — \text{Pr}^{0{,}4}. 6{,}98^{0{,}4}=e^{0{,}4\times1{,}943}=e^{0{,}777}=2{,}18.
Passo 3 — Nusselt.
\text{Nu}=0{,}023\times10\,000\times2{,}18=0{,}023\times21\,800=501.
5. Coefficiente di convezione dal Nusselt
Esercizio. Dal Nusselt precedente (\text{Nu}=501, D=0{,}05\ \text{m}, \lambda=0{,}60\ \text{W/(m·K)}), calcolare il coefficiente di convezione h.
Da \text{Nu}=hD/\lambda:
h=\dfrac{\text{Nu}\,\lambda}{D}=\dfrac{501\times0{,}60}{0{,}05}=\dfrac{300{,}6}{0{,}05}=6012\ \text{W/(m}^2\text{K}).
Valore alto, tipico dell’acqua in moto turbolento (l’aria darebbe h di poche decine).
6. Flusso termico convettivo
Esercizio. Per il tubo precedente (h=6012\ \text{W/(m}^2\text{K})), area A=0{,}30\ \text{m}^2, con parete a 70\ °C e acqua a 40\ °C, calcolare il flusso.
\dot{Q}=hA(T_s-T_\infty)=6012\times0{,}30\times(70-40)=6012\times0{,}30\times30=5{,}41\times10^4\ \text{W}=54{,}1\ \text{kW}.
7. Convezione naturale (numero di Rayleigh)
Nella convezione naturale conta il numero di Rayleigh \text{Ra}=\text{Gr}\cdot\text{Pr}, con \text{Gr} numero di Grashof. La correlazione tipica per una parete verticale: \text{Nu}=C\,\text{Ra}^{1/4} (laminare).
Esercizio. Una parete verticale ha \text{Ra}=2{,}0\times10^8 e C=0{,}59. Calcolare il Nusselt (regime laminare).
Passo 1 — \text{Ra}^{1/4}. (2{,}0\times10^8)^{1/4}=(2{,}0)^{1/4}\times10^2=1{,}19\times100=119.
Passo 2 — Nusselt.
\text{Nu}=0{,}59\times119=70{,}2.
8. Confronto convezione forzata vs naturale
Esercizio. Perché la convezione forzata dà coefficienti h molto maggiori della naturale?
Nella convezione forzata una pompa/ventilatore impone alte velocità (Reynolds alti), assottigliando lo strato limite e intensificando lo scambio. Nella naturale il moto è generato solo dalle differenze di densità (galleggiamento), con velocità basse e h minori. Tipicamente: aria in convezione naturale h\sim5–25\ \text{W/(m}^2\text{K}), forzata h\sim25–250; acqua forzata fino a migliaia.
9. Effetto della velocità sul coefficiente
Esercizio. In convezione forzata turbolenta (\text{Nu}\propto\text{Re}^{0{,}8}, quindi h\propto v^{0{,}8}), di quanto aumenta h raddoppiando la velocità del fluido?
\dfrac{h_2}{h_1}=\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^{0{,}8}=2^{0{,}8}=1{,}74.
Raddoppiando la velocità, h cresce del 74\% (non del doppio): l’esponente 0{,}8 rende lo scambio meno che proporzionale alla velocità.
10. Diametro idraulico (sezione non circolare)
Per condotti non circolari si usa il diametro idraulico D_h=\dfrac{4A_\text{sez}}{P_\text{bagnato}}.
Esercizio. Calcolare il diametro idraulico di un condotto rettangolare 0{,}10\times0{,}20\ \text{m}.
Passo 1 — area e perimetro. A=0{,}10\times0{,}20=0{,}020\ \text{m}^2; P=2(0{,}10+0{,}20)=0{,}60\ \text{m}.
Passo 2 — diametro idraulico.
D_h=\dfrac{4A}{P}=\dfrac{4\times0{,}020}{0{,}60}=\dfrac{0{,}080}{0{,}60}=0{,}133\ \text{m}.
Si usa D_h al posto di D nei numeri di Reynolds e Nusselt per geometrie non circolari.
Sintesi
| Numero | Formula | Significato |
|---|---|---|
| Reynolds | \text{Re}=\rho vL/\mu | laminare/turbolento |
| Prandtl | \text{Pr}=\mu c_p/\lambda | proprietà del fluido |
| Nusselt | \text{Nu}=hL/\lambda | scambio convettivo |
| Rayleigh | \text{Ra}=\text{Gr·Pr} | convezione naturale |
Dittus-Boelter: \text{Nu}=0{,}023\,\text{Re}^{0{,}8}\text{Pr}^{0{,}4}. Da \text{Nu} si ricava h=\text{Nu}\,\lambda/L.
Errori da evitare:
- confondere \lambda del fluido (nel Nusselt) con quello della parete;
- usare correlazioni turbolente in regime laminare (e viceversa);
- dimenticare il diametro idraulico per condotti non circolari.