Oltre alla conduzione, il calore si trasmette per convezione (movimento di un fluido) e irraggiamento (onde elettromagnetiche, anche nel vuoto).
La convezione segue la legge di Newton del raffreddamento:
\dot{Q}=h\,A\,(T_s-T_\infty),
dove h è il coefficiente di convezione (W/(m²·K)), T_s la temperatura della superficie, T_\infty quella del fluido. L’irraggiamento segue la legge di Stefan-Boltzmann:
\dot{Q}=\varepsilon\,\sigma\,A\,T^4,\qquad\sigma=5{,}67\times10^{-8}\ \text{W/(m}^2\text{K}^4),
con \varepsilon emissività (\varepsilon=1 corpo nero, <1 corpo grigio). Le temperature dell’irraggiamento sono assolute (K).
1. Flusso convettivo
Esercizio. Una parete a T_s=40\ °C è lambita da aria a T_\infty=15\ °C con h=12\ \text{W/(m}^2\text{K}). Calcolare la densità di flusso convettivo.
Passo 1 — differenza di temperatura. \Delta T=40-15=25\ \text{K}.
Passo 2 — Newton (per unità di area).
q=h\,\Delta T=12\times25=300\ \text{W/m}^2.
2. Flusso convettivo totale
Esercizio. Per la parete precedente, area A=6{,}0\ \text{m}^2. Flusso totale?
\dot{Q}=h\,A\,\Delta T=12\times6{,}0\times25=1800\ \text{W}.
3. Coefficiente di convezione da dati
Esercizio. Una superficie di 2{,}0\ \text{m}^2 a 60\ °C in aria a 20\ °C cede \dot{Q}=640\ \text{W} per convezione. Calcolare h.
h=\dfrac{\dot{Q}}{A\,\Delta T}=\dfrac{640}{2{,}0\times40}=\dfrac{640}{80}=8{,}0\ \text{W/(m}^2\text{K}).
4. Irraggiamento di un corpo nero
Esercizio. Un corpo nero (\varepsilon=1) di area A=0{,}50\ \text{m}^2 è a T=500\ \text{K}. Quale potenza irraggia?
\dot{Q}=\varepsilon\sigma A T^4=1\times5{,}67\times10^{-8}\times0{,}50\times500^4.
Calcolo: 500^4=6{,}25\times10^{10}; quindi:
\dot{Q}=5{,}67\times10^{-8}\times0{,}50\times6{,}25\times10^{10}=5{,}67\times10^{-8}\times3{,}125\times10^{10}=1772\ \text{W}.
5. Corpo grigio (emissività < 1)
Esercizio. Una superficie metallica di A=1{,}0\ \text{m}^2 a T=400\ \text{K} ha emissività \varepsilon=0{,}30. Potenza irraggiata?
Passo 1 — T^4. 400^4=2{,}56\times10^{10}.
Passo 2 — Stefan-Boltzmann.
\dot{Q}=\varepsilon\sigma A T^4=0{,}30\times5{,}67\times10^{-8}\times1{,}0\times2{,}56\times10^{10}=0{,}30\times1451=435\ \text{W}.
L’emissività riduce l’irraggiamento: i metalli lucidi irraggiano poco.
6. Scambio netto per irraggiamento tra due superfici
Lo scambio netto tra una superficie a T_1 e l’ambiente a T_2 è \dot{Q}=\varepsilon\sigma A(T_1^4-T_2^4).
Esercizio. Un radiatore (A=2{,}0\ \text{m}^2, \varepsilon=0{,}90) a T_1=350\ \text{K} irraggia verso pareti a T_2=290\ \text{K}. Flusso netto?
Passo 1 — quarte potenze. 350^4=1{,}5006\times10^{10}; 290^4=7{,}0729\times10^{9}.
Passo 2 — differenza. 1{,}5006\times10^{10}-7{,}0729\times10^{9}=7{,}933\times10^{9}.
Passo 3 — flusso netto.
7. Effetto del raddoppio della temperatura (irraggiamento)
Esercizio. Se la temperatura assoluta di un corpo raddoppia, di quanto aumenta la potenza irraggiata?
Da \dot{Q}\propto T^4:
\dfrac{\dot{Q}_2}{\dot{Q}_1}=\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^4=2^4=16.
La potenza irraggiata cresce di 16 volte: la dipendenza dalla quarta potenza è molto forte (spiega perché i corpi molto caldi irraggiano enormemente).
8. Scambio combinato convezione + irraggiamento
Esercizio. Una superficie (A=1{,}0\ \text{m}^2, T_s=330\ \text{K}, \varepsilon=0{,}85) cede calore per convezione (h=10\ \text{W/(m}^2\text{K})) e irraggiamento verso un ambiente a T_\infty=300\ \text{K}. Flusso totale?
Passo 1 — convezione. \dot{Q}_\text{conv}=hA(T_s-T_\infty)=10\times1{,}0\times(330-300)=300\ \text{W}.
Passo 2 — irraggiamento. 330^4=1{,}1859\times10^{10}; 300^4=8{,}10\times10^{9}; differenza 3{,}759\times10^9:
\dot{Q}_\text{irr}=0{,}85\times5{,}67\times10^{-8}\times1{,}0\times3{,}759\times10^9=0{,}85\times213{,}1=181\ \text{W}.
Passo 3 — flusso totale.
\dot{Q}=\dot{Q}_\text{conv}+\dot{Q}_\text{irr}=300+181=481\ \text{W}.
I due meccanismi agiscono in parallelo: si sommano.
9. Temperatura di equilibrio radiativo
Esercizio. Un corpo nero riceve 1000\ \text{W/m}^2 di radiazione e la riemette interamente. Quale temperatura di equilibrio?
A regime, potenza assorbita = irraggiata: \sigma T^4=q:
T=\left(\dfrac{q}{\sigma}\right)^{1/4}=\left(\dfrac{1000}{5{,}67\times10^{-8}}\right)^{1/4}=(1{,}764\times10^{10})^{1/4}=364\ \text{K}.
10. Legge di Wien (concetto applicato)
Esercizio. Un corpo a T=5800\ \text{K} (superficie solare) emette il massimo a quale lunghezza d’onda? (\lambda_\text{max} T=2{,}898\times10^{-3}\ \text{m·K}).
Dalla legge dello spostamento di Wien:
\lambda_\text{max}=\dfrac{2{,}898\times10^{-3}}{T}=\dfrac{2{,}898\times10^{-3}}{5800}=5{,}0\times10^{-7}\ \text{m}=500\ \text{nm}.
500\ \text{nm} è luce verde-gialla, al centro del visibile: per questo il Sole appare bianco-giallastro.
Sintesi
| Meccanismo | Formula |
|---|---|
| Convezione | \dot{Q}=hA(T_s-T_\infty) |
| Irraggiamento | \dot{Q}=\varepsilon\sigma AT^4 |
| Scambio netto | \dot{Q}=\varepsilon\sigma A(T_1^4-T_2^4) |
| Combinato | \dot{Q}_\text{conv}+\dot{Q}_\text{irr} |
| Wien | \lambda_\text{max}=2{,}898\times10^{-3}/T |
\sigma=5{,}67\times10^{-8}\ \text{W/(m}^2\text{K}^4); corpo nero \varepsilon=1, grigio \varepsilon<1.
Errori da evitare:
- usare °C invece di K nell’irraggiamento (T è assoluta ed elevata alla quarta);
- dimenticare il termine -T_2^4 nello scambio netto (solo T^4 è la potenza emessa, non lo scambio);
- sommare convezione e irraggiamento come se fossero in serie (agiscono in parallelo).