Equazione di continuità e teorema di Bernoulli: esercizi svolti

Per un fluido incomprimibile la portata volumetrica si conserva (equazione di continuità):

Q=A_1v_1=A_2v_2=\text{cost}.

Per un fluido ideale (incomprimibile, non viscoso, in moto stazionario) vale il teorema di Bernoulli, conservazione dell’energia per unità di volume lungo una linea di flusso:

p+\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho g z=\text{cost}.

I tre termini sono pressione statica p, pressione dinamica \dfrac{1}{2}\rho v^2 e pressione di quota \rho gz. Dove il fluido accelera la pressione statica cala: è l’effetto Venturi.

1. Continuità — restringimento di sezione

Esercizio. In un tubo l’acqua scorre a v_1=2{,}0\ \text{m/s} dove A_1=20\ \text{cm}^2. Quale velocità dove la sezione si restringe a A_2=5{,}0\ \text{cm}^2?

Dalla continuità A_1v_1=A_2v_2:

v_2=v_1\dfrac{A_1}{A_2}=2{,}0\times\dfrac{20}{5{,}0}=8{,}0\ \text{m/s}.

Riducendo la sezione di 4 volte, la velocità quadruplica.

2. Continuità con i diametri

Esercizio. Un tubo passa da diametro d_1=6{,}0\ \text{cm} a d_2=3{,}0\ \text{cm}. Se v_1=1{,}0\ \text{m/s}, quanto vale v_2?

Le aree vanno con il quadrato del diametro (A\propto d^2):

v_2=v_1\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^2=1{,}0\times\left(\dfrac{6{,}0}{3{,}0}\right)^2=1{,}0\times4=4{,}0\ \text{m/s}.

3. Portata e velocità media

Esercizio. Un tubo di diametro d=4{,}0\ \text{cm} eroga Q=6{,}0\ \text{L/s}. Quale velocità media?

Passo 1 — sezione. A=\pi d^2/4=\pi(0{,}040)^2/4=1{,}257\times10^{-3}\ \text{m}^2.

Passo 2 — velocità (Q=6{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}):

v=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{6{,}0\times10^{-3}}{1{,}257\times10^{-3}}=4{,}77\ \text{m/s}.

4. Diramazione di una conduttura

Esercizio. Un tubo principale porta Q=12\ \text{L/s} e si dirama in due. Il primo (d_1=3{,}0\ \text{cm}) trasporta v_1=5{,}0\ \text{m/s}. Quale portata al secondo?

Passo 1 — portata del primo ramo. A_1=\pi(0{,}030)^2/4=7{,}07\times10^{-4}\ \text{m}^2:

Q_1=A_1v_1=7{,}07\times10^{-4}\times5{,}0=3{,}54\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}=3{,}54\ \text{L/s}.

Passo 2 — conservazione (Q=Q_1+Q_2):

Q_2=12-3{,}54=8{,}46\ \text{L/s}.

5. Bernoulli — tubo orizzontale (effetto Venturi)

Esercizio. In un tubo orizzontale l’acqua passa da una sezione larga (v_1=1{,}5\ \text{m/s}, p_1=2{,}0\times10^5\ \text{Pa}) a una stretta dove v_2=6{,}0\ \text{m/s}. Quale pressione p_2?

Tubo orizzontale (z_1=z_2): p_1+\dfrac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\dfrac{1}{2}\rho v_2^2:

p_2=p_1+\dfrac{1}{2}\rho(v_1^2-v_2^2)=2{,}0\times10^5+500\times(2{,}25-36)=2{,}0\times10^5-16\,875=1{,}83\times10^5\ \text{Pa}.

Dove il fluido accelera la pressione cala.

6. Continuità + Bernoulli insieme

Esercizio. Un tubo orizzontale passa da A_1=8{,}0\ \text{cm}^2 (p_1=1{,}8\times10^5\ \text{Pa}, v_1=2{,}0\ \text{m/s}) a A_2=2{,}0\ \text{cm}^2. Quale pressione p_2?

Passo 1 — velocità nella strozzatura (continuità). v_2=v_1A_1/A_2=2{,}0\times4=8{,}0\ \text{m/s}.

Passo 2 — Bernoulli orizzontale.

p_2=p_1+\dfrac{1}{2}\rho(v_1^2-v_2^2)=1{,}8\times10^5+500\times(4-64)=1{,}8\times10^5-30\,000=1{,}5\times10^5\ \text{Pa}.

7. Tubo di Venturi — misura di portata

Esercizio. Un Venturi orizzontale ha sezioni A_1=10\ \text{cm}^2 e A_2=4{,}0\ \text{cm}^2. La differenza di pressione misurata è \Delta p=p_1-p_2=3{,}0\times10^3\ \text{Pa} (acqua). Quale portata?

Passo 1 — continuità. v_1=v_2A_2/A_1=0{,}40\,v_2.

Passo 2 — Bernoulli. \Delta p=\dfrac{1}{2}\rho(v_2^2-v_1^2)=\dfrac{1}{2}\rho v_2^2(1-0{,}40^2):

v_2^2=\dfrac{2\,\Delta p}{\rho(1-0{,}16)}=\dfrac{2\times3{,}0\times10^3}{1000\times0{,}84}=7{,}14\ \Rightarrow\ v_2=2{,}67\ \text{m/s}.

Passo 3 — portata.

8. Venturi con dislivello manometrico

Esercizio. Lo stesso Venturi (A_1=10\ \text{cm}^2, A_2=4{,}0\ \text{cm}^2) ha un manometro a mercurio (\rho_m=13\,600\ \text{kg/m}^3) che segna \Delta h=2{,}3\ \text{cm}. Quale Δp tra le sezioni?

La differenza di pressione si legge dal dislivello di mercurio (al netto del fluido in misura, qui trascurabile rispetto al mercurio):

\Delta p=\rho_m g\,\Delta h=13\,600\times9{,}8\times0{,}023=3066\ \text{Pa}\approx3{,}0\times10^3\ \text{Pa}.

Coerente con l’esercizio 7: questo è il modo pratico di misurare \Delta p in un Venturi.

9. Bernoulli con dislivello

Esercizio. L’acqua sale da una sezione inferiore (z_1=0, v_1=3{,}0\ \text{m/s}, p_1=1{,}5\times10^5\ \text{Pa}, A_1=12\ \text{cm}^2) a una superiore (z_2=4{,}0\ \text{m}, A_2=6{,}0\ \text{cm}^2). Quale pressione p_2?

Passo 1 — velocità in alto (continuità). v_2=v_1A_1/A_2=3{,}0\times2=6{,}0\ \text{m/s}.

Passo 2 — Bernoulli completo.

p_2=p_1+\dfrac{1}{2}\rho(v_1^2-v_2^2)+\rho g(z_1-z_2)=1{,}5\times10^5+500\times(9-36)+1000\times9{,}8\times(-4{,}0).

p_2=1{,}5\times10^5-13\,500-39\,200=9{,}73\times10^4\ \text{Pa}.

10. Pressione statica, dinamica e totale

Esercizio. Acqua scorre in un condotto orizzontale a v=5{,}0\ \text{m/s} con pressione statica p=1{,}2\times10^5\ \text{Pa}. Calcolare pressione dinamica e pressione totale (di ristagno).

Passo 1 — pressione dinamica. \dfrac{1}{2}\rho v^2=500\times5{,}0^2=12\,500\ \text{Pa}.

Passo 2 — pressione totale.

p_\text{tot}=p+\dfrac{1}{2}\rho v^2=1{,}2\times10^5+12\,500=1{,}325\times10^5\ \text{Pa}.

È la pressione che si misura in un punto di ristagno, dove il fluido si arresta (v=0).

Sintesi

Errori da evitare:

1. applicare Bernoulli a fluidi viscosi o flussi non stazionari (vale solo per fluido ideale);
2. dimenticare il termine di quota \rho gz quando il condotto non è orizzontale;
3. nella continuità con i diametri, dimenticare il quadrato (A\propto d^2);
4. confondere portata volumetrica Q e velocità v (legate da Q=Av);
5. sommare p_0 atmosferica quando si lavora con pressioni assolute già date (verificare il riferimento).