Nei transitori termici la temperatura di un corpo varia nel tempo. Quando la resistenza interna alla conduzione è trascurabile rispetto a quella convettiva esterna (corpo “termicamente sottile”), vale il modello a parametri concentrati: la temperatura è uniforme nel corpo e segue un decadimento esponenziale.
Il criterio di applicabilità è il numero di Biot:
\text{Bi}=\dfrac{h\,L_c}{\lambda},\qquad L_c=\dfrac{V}{A},
dove L_c è la lunghezza caratteristica. Se \text{Bi}<0{,}1 il modello a parametri concentrati è valido. La temperatura evolve come
\dfrac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty}=e^{-t/\tau},\qquad\tau=\dfrac{\rho V c}{hA},
con \tau costante di tempo termica.
1. Numero di Biot
Esercizio. Una sfera di rame (\lambda=400\ \text{W/(m·K)}, raggio r=0{,}02\ \text{m}) è raffreddata in aria con h=20\ \text{W/(m}^2\text{K}). Calcolare il numero di Biot.
Passo 1 — lunghezza caratteristica (sfera: L_c=V/A=r/3):
L_c=\dfrac{r}{3}=\dfrac{0{,}02}{3}=6{,}67\times10^{-3}\ \text{m}.
Passo 2 — numero di Biot.
\text{Bi}=\dfrac{h L_c}{\lambda}=\dfrac{20\times6{,}67\times10^{-3}}{400}=\dfrac{0{,}133}{400}=3{,}3\times10^{-4}.
\text{Bi}\ll0{,}1: il modello a parametri concentrati è valido (il rame è molto conduttivo).
2. Validità del modello
Esercizio. Una sfera di vetro (\lambda=1{,}0, L_c=0{,}01\ \text{m}) in aria con h=15\ \text{W/(m}^2\text{K}). Il modello a parametri concentrati è valido?
\text{Bi}=\dfrac{h L_c}{\lambda}=\dfrac{15\times0{,}01}{1{,}0}=0{,}15.
\text{Bi}=0{,}15>0{,}1: il modello non è strettamente valido (gradienti interni di temperatura non trascurabili). Servirebbe un’analisi più dettagliata.
3. Costante di tempo termica
Esercizio. Un corpo metallico ha \rho=8000\ \text{kg/m}^3, c=400\ \text{J/(kg·K)}, volume V=1{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^3, area A=1{,}5\times10^{-2}\ \text{m}^2, raffreddato con h=25\ \text{W/(m}^2\text{K}). Calcolare la costante di tempo.
4. Temperatura dopo un tempo dato
Esercizio. Il corpo precedente (\tau=853\ \text{s}) parte da T_0=200\ °C in ambiente a T_\infty=20\ °C. Quale temperatura dopo t=600\ \text{s}?
Passo 1 — rapporto esponenziale.
\dfrac{T-T_\infty}{T_0-T_\infty}=e^{-t/\tau}=e^{-600/853}=e^{-0{,}703}=0{,}495.
Passo 2 — temperatura.
T=T_\infty+(T_0-T_\infty)\times0{,}495=20+(200-20)\times0{,}495=20+89{,}1=109\ °C.
5. Tempo per raggiungere una temperatura
Esercizio. Per lo stesso corpo, dopo quanto tempo raggiunge T=50\ °C?
Passo 1 — rapporto.
\dfrac{T-T_\infty}{T_0-T_\infty}=\dfrac{50-20}{200-20}=\dfrac{30}{180}=0{,}167.
Passo 2 — isolare il tempo.
6. Significato della costante di tempo
Esercizio. Dopo un tempo t=\tau, di quanto si è ridotta la differenza di temperatura iniziale?
A t=\tau:
\dfrac{T-T_\infty}{T_0-T_\infty}=e^{-1}=0{,}368.
La differenza di temperatura si riduce al 36{,}8\% dopo una costante di tempo (il corpo ha “smaltito” il 63{,}2\% del salto termico). Dopo \sim5\tau si considera raggiunto l’equilibrio.
7. Numero di Fourier
Il numero di Fourier \text{Fo}=\dfrac{\alpha t}{L_c^2} (con \alpha=\lambda/(\rho c) diffusività termica) misura quanto è “avanzato” il transitorio.
Esercizio. Calcolare \text{Fo} per un corpo con \alpha=1{,}2\times10^{-5}\ \text{m}^2\text{/s}, L_c=0{,}05\ \text{m}, dopo t=500\ \text{s}.
\text{Fo}=\dfrac{\alpha t}{L_c^2}=\dfrac{1{,}2\times10^{-5}\times500}{0{,}05^2}=\dfrac{6{,}0\times10^{-3}}{2{,}5\times10^{-3}}=2{,}4.
\text{Fo}>1: il transitorio è molto avanzato, il corpo è prossimo all’equilibrio.
8. Diffusività termica
Esercizio. Calcolare la diffusività termica dell’alluminio (\lambda=237\ \text{W/(m·K)}, \rho=2700\ \text{kg/m}^3, c=900\ \text{J/(kg·K)}).
\alpha=\dfrac{\lambda}{\rho c}=\dfrac{237}{2700\times900}=\dfrac{237}{2{,}43\times10^6}=9{,}75\times10^{-5}\ \text{m}^2\text{/s}.
Alta diffusività: l’alluminio si porta rapidamente in equilibrio termico (utile per dissipatori).
9. Calore totale scambiato nel transitorio
Esercizio. Un corpo (\rho V c=128\ \text{J/K}, cioè capacità termica C=128\ \text{J/K}) si raffredda da 200\ °C a 50\ °C. Quanto calore cede in totale?
Il calore totale è la capacità termica per il salto:
Q=C\,(T_0-T_\text{fin})=128\times(200-50)=128\times150=19\,200\ \text{J}\approx19{,}2\ \text{kJ}.
10. Raffreddamento più rapido con h maggiore
Esercizio. Se si raddoppia il coefficiente di convezione h, come cambia la costante di tempo \tau?
Da \tau=\dfrac{\rho V c}{hA}, \tau\propto1/h:
\dfrac{\tau_2}{\tau_1}=\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{1}{2}.
La costante di tempo si dimezza: raddoppiando h (es. con ventilazione forzata) il corpo si raffredda due volte più velocemente.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Numero di Biot | \text{Bi}=hL_c/\lambda |
| Modello concentrato valido | \text{Bi}<0{,}1 |
| Costante di tempo | \tau=\rho Vc/(hA) |
| Temperatura nel tempo | (T-T_\infty)/(T_0-T_\infty)=e^{-t/\tau} |
| Diffusività | \alpha=\lambda/(\rho c) |
| Numero di Fourier | \text{Fo}=\alpha t/L_c^2 |
A t=\tau il salto si riduce al 36{,}8\%; equilibrio dopo \sim5\tau.
Errori da evitare:
- applicare il modello a parametri concentrati con \text{Bi}>0{,}1 (gradienti interni non trascurabili);
- confondere lunghezza caratteristica L_c=V/A con il raggio o lo spessore pieno;
- usare °C nel rapporto esponenziale senza coerenza (il rapporto di differenze è invariante, ma serve coerenza).