La conduzione trasmette calore attraverso un mezzo senza spostamento di materia. La legge di Fourier per una parete piana in regime stazionario dà il flusso termico:
\dot{Q}=\dfrac{\lambda\,A\,\Delta T}{s},
dove \lambda è la conduttività termica (W/(m·K)), A l’area, s lo spessore, \Delta T la differenza di temperatura tra le due facce. In analogia elettrica si definisce la resistenza termica R=\dfrac{s}{\lambda A}, così che \dot{Q}=\Delta T/R. Materiali isolanti hanno \lambda basso, i metalli \lambda alto.
1. Flusso attraverso una parete piana
Esercizio. Una parete di mattoni (\lambda=0{,}70\ \text{W/(m·K)}) ha area A=10\ \text{m}^2 e spessore s=0{,}25\ \text{m}. Le facce sono a 20\ °C e 5\ °C. Calcolare il flusso termico.
Passo 1 — differenza di temperatura. \Delta T=20-5=15\ \text{K}.
Passo 2 — legge di Fourier.
\dot{Q}=\dfrac{\lambda A\,\Delta T}{s}=\dfrac{0{,}70\times10\times15}{0{,}25}=\dfrac{105}{0{,}25}=420\ \text{W}.
La parete disperde 420\ \text{W}.
2. Resistenza termica di una parete
Esercizio. Calcolare la resistenza termica della parete precedente e ricavare il flusso da \dot{Q}=\Delta T/R.
Passo 1 — resistenza termica.
R=\dfrac{s}{\lambda A}=\dfrac{0{,}25}{0{,}70\times10}=\dfrac{0{,}25}{7{,}0}=0{,}0357\ \text{K/W}.
Passo 2 — flusso.
\dot{Q}=\dfrac{\Delta T}{R}=\dfrac{15}{0{,}0357}=420\ \text{W}. ✓
3. Conduttività da flusso misurato
Esercizio. Una lastra di spessore s=0{,}02\ \text{m} e area A=0{,}50\ \text{m}^2 conduce \dot{Q}=300\ \text{W} con \Delta T=40\ \text{K}. Calcolare \lambda.
Isolando \lambda da Fourier:
\lambda=\dfrac{\dot{Q}\,s}{A\,\Delta T}=\dfrac{300\times0{,}02}{0{,}50\times40}=\dfrac{6{,}0}{20}=0{,}30\ \text{W/(m·K)}.
4. Calore disperso in un tempo
Esercizio. La parete dell’esercizio 1 (\dot{Q}=420\ \text{W}) disperde calore per 8{,}0\ \text{ore}. Quanta energia totale?
Q=\dot{Q}\times t=420\times(8{,}0\times3600)=420\times28\,800=1{,}21\times10^7\ \text{J}=12{,}1\ \text{MJ}.
5. Spessore di isolante per un flusso massimo
Esercizio. Quale spessore di lana di vetro (\lambda=0{,}040\ \text{W/(m·K)}) serve per limitare a \dot{Q}=100\ \text{W} il flusso su A=8{,}0\ \text{m}^2 con \Delta T=25\ \text{K}?
Isolando s da Fourier:
s=\dfrac{\lambda A\,\Delta T}{\dot{Q}}=\dfrac{0{,}040\times8{,}0\times25}{100}=\dfrac{8{,}0}{100}=0{,}080\ \text{m}=8{,}0\ \text{cm}.
6. Temperatura intermedia in una parete
Esercizio. In una parete con flusso \dot{Q}=420\ \text{W}, la faccia calda è a 20\ °C. Quale temperatura a metà spessore (R_\text{meta}=0{,}0178\ \text{K/W})?
Il salto di temperatura su mezza parete è \Delta T_\text{meta}=\dot{Q}\,R_\text{meta}=420\times0{,}0178=7{,}5\ \text{K}:
T_\text{meta}=20-7{,}5=12{,}5\ ^\circ\mathrm{C}.
In regime stazionario il profilo di temperatura è lineare nella parete piana.
7. Parete cilindrica (tubo)
Per un cilindro cavo (tubo) la resistenza termica è R=\dfrac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi\lambda L}.
Esercizio. Un tubo di acciaio (\lambda=50\ \text{W/(m·K)}) lungo L=10\ \text{m} ha raggio interno r_1=0{,}05\ \text{m} ed esterno r_2=0{,}06\ \text{m}. Le superfici sono a 80\ °C e 78\ °C. Calcolare il flusso.
Passo 1 — resistenza del cilindro.
Passo 2 — flusso.
\dot{Q}=\dfrac{\Delta T}{R}=\dfrac{80-78}{5{,}80\times10^{-5}}=\dfrac{2{,}0}{5{,}80\times10^{-5}}=3{,}45\times10^4\ \text{W}=34{,}5\ \text{kW}.
8. Confronto isolante vs conduttore
Esercizio. A parità di geometria (A=1{,}0\ \text{m}^2, s=0{,}01\ \text{m}, \Delta T=30\ \text{K}), confronta il flusso attraverso rame (\lambda=400) e polistirene (\lambda=0{,}035\ \text{W/(m·K)}).
Rame:
\dot{Q}=\dfrac{400\times1{,}0\times30}{0{,}01}=1{,}2\times10^6\ \text{W}.
Polistirene:
\dot{Q}=\dfrac{0{,}035\times1{,}0\times30}{0{,}01}=105\ \text{W}.
Il rame conduce \sim11\,000 volte di più: per questo si usano isolanti (λ basso) nell’edilizia e metalli (λ alto) negli scambiatori.
9. Resistenze in serie (concetto)
Esercizio. Perché le resistenze termiche di strati successivi si sommano?
Il flusso \dot{Q} attraversa in serie ogni strato (lo stesso calore passa per tutti), come una corrente in resistenze elettriche in serie. Quindi R_\text{tot}=R_1+R_2+\dots e \dot{Q}=\dfrac{\Delta T_\text{tot}}{R_\text{tot}}. È la base del calcolo delle pareti multistrato.
10. Densità di flusso termico
La densità di flusso è il flusso per unità di area: q=\dot{Q}/A=\lambda\,\Delta T/s.
Esercizio. Calcolare la densità di flusso attraverso una parete con \lambda=1{,}2\ \text{W/(m·K)}, s=0{,}30\ \text{m}, \Delta T=18\ \text{K}.
q=\dfrac{\lambda\,\Delta T}{s}=\dfrac{1{,}2\times18}{0{,}30}=\dfrac{21{,}6}{0{,}30}=72\ \text{W/m}^2.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Legge di Fourier (piana) | \dot{Q}=\lambda A\Delta T/s |
| Resistenza piana | R=s/(\lambda A) |
| Resistenza cilindrica | R=\ln(r_2/r_1)/(2\pi\lambda L) |
| Flusso | \dot{Q}=\Delta T/R |
| Densità di flusso | q=\dot{Q}/A=\lambda\Delta T/s |
Resistenze in serie si sommano. Materiali isolanti: λ basso; conduttori: λ alto.
Errori da evitare:
- usare la formula della parete piana per geometrie cilindriche;
- dimenticare l’area A nel calcolo del flusso (Fourier) vs densità di flusso (senza A);
- confondere conduttività \lambda (proprietà del materiale) e resistenza R (dipende anche da geometria).