Condensatori e capacità: esercizi svolti

Un condensatore immagazzina carica e energia elettrica. La capacità lega la carica accumulata alla differenza di potenziale:

$C=\dfrac{Q}{V},$

misurata in farad (F). Per un condensatore piano di area $A$ e distanza $d$ tra le armature:

$C=\dfrac{\varepsilon_0\,A}{d}.$

I condensatori si combinano: in parallelo le capacità si sommano ( $C_\text{eq}=C_1+C_2$ ), in serie si sommano i reciproci ( $1/C_\text{eq}=1/C_1+1/C_2$ ). L’energia immagazzinata è $U=\dfrac{1}{2} CV^2$ . $\varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\ \text{F/m}$ .

1. Capacità da carica e tensione

Esercizio. Un condensatore accumula $Q=6{,}0\times10^{-5}\ \text{C}$ con una tensione $V=12\ \text{V}$ . Quale capacità?

$C=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{6{,}0\times10^{-5}}{12}=5{,}0\times10^{-6}\ \text{F}=5{,}0\ \mu\text{F}.$

2. Capacità di un condensatore piano

Esercizio. Un condensatore piano ha armature di area $A=0{,}50\ \text{m}^2$ separate da $d=1{,}0\ \text{mm}$ (vuoto). Calcolare la capacità.

\begin{aligned} C&=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d}\\ &=\dfrac{8{,}85\times10^{-12}\times0{,}50}{1{,}0\times10^{-3}}\\ &=\dfrac{4{,}43\times10^{-12}}{1{,}0\times10^{-3}}\\ &=4{,}43\times10^{-9}\ \text{F}\\ &=4{,}43\ \text{nF}. \end{aligned}

3. Carica immagazzinata

Esercizio. Il condensatore precedente ( $C=4{,}43\ \text{nF}$ ) è collegato a $V=200\ \text{V}$ . Quale carica accumula?

$Q=CV=4{,}43\times10^{-9}\times200=8{,}86\times10^{-7}\ \text{C}=0{,}886\ \mu\text{C}.$

4. Condensatori in parallelo

Esercizio. Tre condensatori $C_1=2{,}0$ , $C_2=3{,}0$ , $C_3=5{,}0\ \mu\text{F}$ in parallelo. Capacità equivalente?

In parallelo le capacità si sommano:

$C_\text{eq}=C_1+C_2+C_3=2{,}0+3{,}0+5{,}0=10{,}0\ \mu\text{F}.$

5. Condensatori in serie

Esercizio. Due condensatori $C_1=4{,}0$ e $C_2=12\ \mu\text{F}$ in serie. Capacità equivalente?

Passo 1 — somma dei reciproci.

$\dfrac{1}{C_\text{eq}}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}=\dfrac{1}{4{,}0}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}.$

Passo 2 — capacità equivalente.

$C_\text{eq}=3{,}0\ \mu\text{F}.$

In serie $C_\text{eq}$ è minore della più piccola (l’opposto delle resistenze).

6. Combinazione serie-parallelo

Esercizio. $C_1=6{,}0\ \mu\text{F}$ in serie con il parallelo di $C_2=2{,}0$ e $C_3=4{,}0\ \mu\text{F}$ . Capacità totale?

Passo 1 — parallelo $C_2$ , $C_3$ . $C_{23}=2{,}0+4{,}0=6{,}0\ \mu\text{F}$ .

Passo 2 — serie $C_1$ con $C_{23}$ .

$\dfrac{1}{C_\text{eq}}=\dfrac{1}{6{,}0}+\dfrac{1}{6{,}0}=\dfrac{2}{6{,}0}=\dfrac{1}{3{,}0}\ \Rightarrow\ C_\text{eq}=3{,}0\ \mu\text{F}.$

7. Energia immagazzinata

Esercizio. Un condensatore $C=10\ \mu\text{F}$ è caricato a $V=50\ \text{V}$ . Quale energia immagazzina?

\begin{aligned} U&=\dfrac{1}{2}CV^2\\ &=\dfrac{1}{2}\times10\times10^{-6}\times50^2\\ &=\dfrac{1}{2}\times10\times10^{-6}\times2500\\ &=1{,}25\times10^{-2}\ \text{J} =12{,}5\ \text{mJ}. \end{aligned}

8. Energia con carica nota

Esercizio. Un condensatore ha carica $Q=3{,}0\times10^{-4}\ \text{C}$ e capacità $C=5{,}0\ \mu\text{F}$ . Energia immagazzinata?

Usando $U=\dfrac{Q^2}{2C}$ :

\begin{aligned} U&=\dfrac{(3{,}0\times10^{-4})^2}{2\times5{,}0\times10^{-6}}\\ &=\dfrac{9{,}0\times10^{-8}}{1{,}0\times10^{-5}}\\ &=9{,}0\times10^{-3}\ \text{J} =9{,}0\ \text{mJ}. \end{aligned}

9. Effetto del dielettrico

Inserendo un dielettrico di costante $\varepsilon_r$ la capacità aumenta: $C=\varepsilon_r C_0$ .

Esercizio. Un condensatore da $C_0=4{,}0\ \text{nF}$ (vuoto) viene riempito con un dielettrico $\varepsilon_r=3{,}0$ . Nuova capacità?

$C=\varepsilon_r C_0=3{,}0\times4{,}0=12\ \text{nF}.$

Il dielettrico triplica la capacità: permette di immagazzinare più carica a parità di tensione.

10. Condensatore caricato e scollegato con dielettrico

Esercizio. Un condensatore ( $C_0=2{,}0\ \mu\text{F}$ ) è caricato a $V_0=100\ \text{V}$ , poi scollegato dalla batteria; si inserisce un dielettrico $\varepsilon_r=2{,}5$ . Come cambiano carica e tensione?

Passo 1 — la carica resta costante (condensatore isolato): $Q=C_0 V_0=2{,}0\times10^{-6}\times100=2{,}0\times10^{-4}\ \text{C}$ .

Passo 2 — nuova capacità. $C=\varepsilon_r C_0=2{,}5\times2{,}0=5{,}0\ \mu\text{F}$ .

Passo 3 — nuova tensione (da $V=Q/C$ ):

$V=\dfrac{Q}{C}=\dfrac{2{,}0\times10^{-4}}{5{,}0\times10^{-6}}=40\ \text{V}.$

La tensione scende (da $100$ a $40\ \text{V}$ ): il dielettrico abbassa il campo a carica costante. (Se invece restasse collegato alla batteria, $V$ resterebbe $100\ \text{V}$ e aumenterebbe la carica.)

Sintesi

Concetto	Formula
Capacità	$C=Q/V$
Condensatore piano	$C=\varepsilon_0 A/d$
Parallelo	$C_\text{eq}=C_1+C_2+\dots$
Serie	$1/C_\text{eq}=1/C_1+1/C_2+\dots$
Energia	$U=\dfrac{1}{2} CV^2=Q^2/(2C)$
Dielettrico	$C=\varepsilon_r C_0$

Serie/parallelo dei condensatori sono opposti a quelli delle resistenze.

Errori da evitare:

scambiare le regole serie/parallelo con quelle delle resistenze (sono invertite);
nel dielettrico, dimenticare se il condensatore è collegato (V costante) o isolato (Q costante);
confondere le formule dell’energia ( $\dfrac{1}{2} CV^2$ vs $Q^2/2C$ ): usare quella coi dati disponibili.