In un circuito RL (resistenza + induttore) la corrente cresce o decade esponenzialmente con costante di tempo
\tau=\dfrac{L}{R}.
Durante l’inserzione (collegamento a una fem \varepsilon): I(t)=\dfrac{\varepsilon}{R}(1-e^{-t/\tau}). Durante la disinserzione: I(t)=I_0\,e^{-t/\tau}.
In un circuito LC ideale, energia e carica oscillano alla frequenza di risonanza:
\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}},\qquad f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
Aggiungendo una resistenza (RLC) le oscillazioni si smorzano.
1. Costante di tempo RL
Esercizio. Un circuito RL ha L=0{,}50\ \text{H} e R=100\ \Omega. Calcolare la costante di tempo.
\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{0{,}50}{100}=5{,}0\times10^{-3}\ \text{s}=5{,}0\ \text{ms}.
2. Crescita della corrente
Esercizio. Per il circuito precedente collegato a \varepsilon=20\ \text{V}, quale corrente dopo t=5{,}0\ \text{ms}?
Passo 1 — corrente finale. I_\infty=\varepsilon/R=20/100=0{,}20\ \text{A}.
Passo 2 — rapporto t/\tau. t/\tau=5{,}0/5{,}0=1{,}0.
Passo 3 — corrente.
I=I_\infty(1-e^{-t/\tau})=0{,}20\times(1-e^{-1})=0{,}20\times0{,}632=0{,}126\ \text{A}.
Dopo una costante di tempo la corrente raggiunge il 63{,}2\% del valore finale.
3. Corrente iniziale in RL
Esercizio. All’istante t=0 della chiusura di un circuito RL, quale corrente?
A t=0 l’induttore si oppone alla variazione: la corrente è nulla e cresce gradualmente:
I(0)=\dfrac{\varepsilon}{R}(1-e^0)=\dfrac{\varepsilon}{R}(1-1)=0\ \text{A}.
L’induttore “blocca” inizialmente la corrente (opposto al condensatore).
4. Decadimento della corrente
Esercizio. Un induttore con corrente iniziale I_0=0{,}40\ \text{A} si scarica su R con \tau=2{,}0\ \text{ms}. Quale corrente dopo t=4{,}0\ \text{ms}?
Passo 1 — rapporto. t/\tau=4{,}0/2{,}0=2{,}0.
Passo 2 — corrente.
I=I_0\,e^{-t/\tau}=0{,}40\times e^{-2{,}0}=0{,}40\times0{,}135=0{,}054\ \text{A}.
5. Frequenza di risonanza LC
Esercizio. Un circuito LC ha L=2{,}0\ \text{mH} e C=8{,}0\ \mu\text{F}. Calcolare la frequenza di oscillazione.
Passo 1 — pulsazione.
Passo 2 — frequenza.
f_0=\dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{7905}{6{,}283}=1258\ \text{Hz}\approx1{,}26\ \text{kHz}.
6. Periodo delle oscillazioni LC
Esercizio. Per il circuito precedente (f_0=1258\ \text{Hz}), quale periodo di oscillazione?
T=\dfrac{1}{f_0}=\dfrac{1}{1258}=7{,}95\times10^{-4}\ \text{s}=0{,}795\ \text{ms}.
7. Capacità per una frequenza data
Esercizio. Quale capacità serve per ottenere f_0=1{,}0\ \text{MHz} con L=10\ \mu\text{H}?
Passo 1 — isolare C da f_0=1/(2\pi\sqrt{LC}):
C=\dfrac{1}{(2\pi f_0)^2 L}=\dfrac{1}{(2\pi\times10^6)^2\times10\times10^{-6}}.
Passo 2 — calcolo. (2\pi\times10^6)^2=3{,}95\times10^{13}; moltiplicato per L: 3{,}95\times10^8:
C=\dfrac{1}{3{,}95\times10^8}=2{,}53\times10^{-9}\ \text{F}=2{,}53\ \text{nF}.
È il principio della sintonizzazione radio (cambiare C per cambiare frequenza).
8. Energia scambiata nel circuito LC
Esercizio. Un condensatore C=4{,}0\ \mu\text{F} carico a V=10\ \text{V} è collegato a un induttore. Quale energia oscilla nel circuito?
L’energia totale (costante in un LC ideale) è quella iniziale del condensatore:
U=\dfrac{1}{2} CV^2=\dfrac{1}{2}\times4{,}0\times10^{-6}\times10^2=\dfrac{1}{2}\times4{,}0\times10^{-6}\times100=2{,}0\times10^{-4}\ \text{J}.
Questa energia oscilla tra condensatore (elettrica) e induttore (magnetica) alla frequenza di risonanza.
9. Condizione di smorzamento critico (RLC)
In un RLC, lo smorzamento è critico quando R=2\sqrt{L/C}.
Esercizio. Per L=10\ \text{mH} e C=40\ \mu\text{F}, quale resistenza dà smorzamento critico?
R_\text{crit}=2\sqrt{\dfrac{L}{C}}=2\sqrt{\dfrac{10\times10^{-3}}{40\times10^{-6}}}=2\sqrt{250}=2\times15{,}8=31{,}6\ \Omega.
Sotto 31{,}6\ \Omega il circuito oscilla (sottosmorzato); sopra, decade senza oscillare (sovrasmorzato).
10. Regime di smorzamento
Esercizio. Un RLC ha L=10\ \text{mH}, C=40\ \mu\text{F}, R=15\ \Omega. Oscilla o decade senza oscillare?
Confronto con la resistenza critica (R_\text{crit}=31{,}6\ \Omega):
R=15\ \Omega<R_\text{crit}=31{,}6\ \Omega\ \Rightarrow\ \text{sottosmorzato (oscilla decadendo)}.
Le oscillazioni si smorzano gradualmente; con R maggiore di 31{,}6\ \Omega non ci sarebbero oscillazioni.
Sintesi
| Circuito | Grandezza chiave |
|---|---|
| RL inserzione | I=(\varepsilon/R)(1-e^{-t/\tau}), \tau=L/R |
| RL disinserzione | I=I_0 e^{-t/\tau} |
| LC | \omega_0=1/\sqrt{LC} |
| RLC critico | R_\text{crit}=2\sqrt{L/C} |
L’induttore blocca la corrente a t=0 (opposto al condensatore che la lascia passare).
Errori da evitare:
- confondere il comportamento di induttore (blocca corrente a t=0) e condensatore (la lascia passare);
- usare \tau=RC per un circuito RL (è \tau=L/R);
- dimenticare la radice nella frequenza di risonanza (1/\sqrt{LC}, non 1/LC).