I circuiti resistivi si analizzano con le combinazioni serie/parallelo e le leggi di Kirchhoff:
- legge dei nodi: la somma delle correnti entranti in un nodo eguaglia quella delle uscenti (\displaystyle \sum I_\text{in}=\sum I_\text{out});
- legge delle maglie: la somma algebrica delle tensioni lungo una maglia chiusa è nulla (\displaystyle \sum V=0).
Resistenze in serie si sommano (R_\text{eq}=R_1+R_2); in parallelo si sommano i reciproci (1/R_\text{eq}=1/R_1+1/R_2). I partitori distribuiscono tensione (serie) e corrente (parallelo).
1. Resistenze in serie
Esercizio. Tre resistenze R_1=10, R_2=20, R_3=30\ \Omega in serie. Resistenza equivalente?
R_\text{eq}=R_1+R_2+R_3=10+20+30=60\ \Omega.
2. Resistenze in parallelo
Esercizio. Due resistenze R_1=6{,}0 e R_2=3{,}0\ \Omega in parallelo. Resistenza equivalente?
Passo 1 — somma dei reciproci.
\dfrac{1}{R_\text{eq}}=\dfrac{1}{6{,}0}+\dfrac{1}{3{,}0}=\dfrac{1}{6{,}0}+\dfrac{2}{6{,}0}=\dfrac{3}{6{,}0}=\dfrac{1}{2{,}0}.
Passo 2 — equivalente.
R_\text{eq}=2{,}0\ \Omega.
Il parallelo è sempre minore della resistenza più piccola.
3. Combinazione serie-parallelo
Esercizio. R_1=4{,}0\ \Omega in serie con il parallelo di R_2=6{,}0 e R_3=3{,}0\ \Omega. Resistenza totale?
Passo 1 — parallelo R_2, R_3. 1/R_{23}=1/6{,}0+1/3{,}0=1/6{,}0+2/6{,}0=3/6{,}0, quindi R_{23}=2{,}0\ \Omega.
Passo 2 — serie con R_1.
R_\text{eq}=R_1+R_{23}=4{,}0+2{,}0=6{,}0\ \Omega.
4. Corrente totale in un circuito
Esercizio. Il circuito precedente (R_\text{eq}=6{,}0\ \Omega) è alimentato a V=12\ \text{V}. Quale corrente totale eroga la batteria?
I=\dfrac{V}{R_\text{eq}}=\dfrac{12}{6{,}0}=2{,}0\ \text{A}.
5. Partitore di tensione
Esercizio. Due resistenze R_1=3{,}0 e R_2=9{,}0\ \Omega in serie su V=24\ \text{V}. Quale tensione su R_2?
La tensione si divide proporzionalmente alle resistenze:
V_2=V\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=24\times\dfrac{9{,}0}{3{,}0+9{,}0}=24\times\dfrac{9{,}0}{12}=18\ \text{V}.
6. Partitore di corrente
Esercizio. Una corrente totale I=6{,}0\ \text{A} entra nel parallelo di R_1=2{,}0 e R_2=4{,}0\ \Omega. Quale corrente in R_1?
La corrente si divide inversamente alle resistenze:
I_1=I\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=6{,}0\times\dfrac{4{,}0}{2{,}0+4{,}0}=6{,}0\times\dfrac{4{,}0}{6{,}0}=4{,}0\ \text{A}.
Più corrente nella resistenza minore (R_1=2{,}0\ \Omega).
7. Legge dei nodi
Esercizio. In un nodo entrano I_1=5{,}0\ \text{A} e I_2=3{,}0\ \text{A}, ed esce I_3 e I_4=2{,}0\ \text{A}. Calcolare I_3.
Dalla legge dei nodi (entranti = uscenti):
I_1+I_2=I_3+I_4\ \Rightarrow\ 5{,}0+3{,}0=I_3+2{,}0\ \Rightarrow\ I_3=8{,}0-2{,}0=6{,}0\ \text{A}.
8. Legge delle maglie (circuito a due batterie)
Esercizio. Una maglia contiene una batteria \varepsilon_1=12\ \text{V}, una \varepsilon_2=6{,}0\ \text{V} (opposta) e una resistenza R=3{,}0\ \Omega. Calcolare la corrente.
Passo 1 — legge delle maglie (somma delle fem = caduta sulla resistenza):
\varepsilon_1-\varepsilon_2=RI.
Passo 2 — risolvere.
I=\dfrac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{R}=\dfrac{12-6{,}0}{3{,}0}=\dfrac{6{,}0}{3{,}0}=2{,}0\ \text{A}.
9. Resistenza interna di una batteria
Una batteria reale ha fem \varepsilon e resistenza interna r: la tensione ai morsetti è V=\varepsilon-rI.
Esercizio. Una batteria con \varepsilon=12\ \text{V} e r=0{,}50\ \Omega alimenta una resistenza esterna R=5{,}5\ \Omega. Calcolare corrente e tensione ai morsetti.
Passo 1 — corrente (la fem si divide su R+r):
I=\dfrac{\varepsilon}{R+r}=\dfrac{12}{5{,}5+0{,}50}=\dfrac{12}{6{,}0}=2{,}0\ \text{A}.
Passo 2 — tensione ai morsetti.
V=\varepsilon-rI=12-0{,}50\times2{,}0=12-1{,}0=11\ \text{V}.
La tensione ai morsetti (11\ \text{V}) è minore della fem per la caduta interna.
10. Potenza erogata e dissipata internamente
Esercizio. Per la batteria precedente (\varepsilon=12\ \text{V}, r=0{,}50\ \Omega, I=2{,}0\ \text{A}), quale potenza dissipata internamente e quale erogata al carico?
Passo 1 — potenza dissipata in r. P_r=rI^2=0{,}50\times2{,}0^2=2{,}0\ \text{W}.
Passo 2 — potenza al carico esterno. P_R=VI=11\times2{,}0=22\ \text{W}.
Passo 3 — potenza totale della batteria. P_\text{tot}=\varepsilon I=12\times2{,}0=24\ \text{W}=P_R+P_r. ✓
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Serie | R_\text{eq}=R_1+R_2+\dots |
| Parallelo | 1/R_\text{eq}=1/R_1+1/R_2+\dots |
| Legge dei nodi | \displaystyle \sum I_\text{in}=\sum I_\text{out} |
| Legge delle maglie | \displaystyle \sum V=0 |
| Partitore tensione | V_i=V\,R_i/R_\text{tot} |
| Resistenza interna | V=\varepsilon-rI |
Serie/parallelo delle resistenze sono opposti a quelli dei condensatori.
Errori da evitare:
- scambiare le regole serie/parallelo (resistenze: serie somma; condensatori: parallelo somma);
- sbagliare i segni nella legge delle maglie (rispettare i versi di fem e cadute);
- dimenticare la resistenza interna della batteria (la tensione ai morsetti è minore della fem sotto carico).