Circuiti RC e transitori: esercizi svolti

In un circuito RC (resistenza + condensatore) la tensione e la corrente variano nel tempo con andamento esponenziale. La costante di tempo è

$\tau=RC,$

misurata in secondi. Durante la carica (condensatore inizialmente scarico, collegato a una fem $\varepsilon$ ):

$V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right),\qquad I(t)=\dfrac{\varepsilon}{R}e^{-t/\tau}.$

Durante la scarica (condensatore carico a $V_0$ che si scarica su $R$ ):

$V_C(t)=V_0\,e^{-t/\tau}.$

1. Costante di tempo

Esercizio. Un circuito RC ha $R=2{,}0\times10^4\ \Omega$ e $C=5{,}0\ \mu\text{F}$ . Calcolare la costante di tempo.

$\tau=RC=2{,}0\times10^4\times5{,}0\times10^{-6}=0{,}10\ \text{s}.$

2. Tensione durante la carica

Esercizio. Per il circuito precedente ( $\tau=0{,}10\ \text{s}$ ), collegato a $\varepsilon=12\ \text{V}$ , quale tensione sul condensatore dopo $t=0{,}10\ \text{s}$ ?

Passo 1 — rapporto $t/\tau$ . $t/\tau=0{,}10/0{,}10=1{,}0$ .

Passo 2 — tensione di carica.

$V_C=\varepsilon(1-e^{-t/\tau})=12\times(1-e^{-1})=12\times(1-0{,}368)=12\times0{,}632=7{,}58\ \text{V}.$

Dopo una costante di tempo il condensatore raggiunge il $63{,}2\%$ della tensione finale.

3. Corrente iniziale di carica

Esercizio. All’istante iniziale ( $t=0$ ) della carica, quale corrente? ( $\varepsilon=12\ \text{V}$ , $R=2{,}0\times10^4\ \Omega$ ).

A $t=0$ il condensatore è scarico e si comporta come un cortocircuito: tutta la tensione cade su $R$ :

$I_0=\dfrac{\varepsilon}{R}=\dfrac{12}{2{,}0\times10^4}=6{,}0\times10^{-4}\ \text{A}=0{,}60\ \text{mA}.$

4. Corrente dopo un tempo

Esercizio. Quale corrente dopo $t=0{,}20\ \text{s}$ ( $\tau=0{,}10\ \text{s}$ , $I_0=0{,}60\ \text{mA}$ )?

Passo 1 — rapporto. $t/\tau=0{,}20/0{,}10=2{,}0$ .

Passo 2 — corrente.

$I=I_0\,e^{-t/\tau}=0{,}60\times e^{-2{,}0}=0{,}60\times0{,}135=0{,}081\ \text{mA}.$

La corrente decade esponenzialmente verso zero man mano che il condensatore si carica.

5. Scarica del condensatore

Esercizio. Un condensatore carico a $V_0=20\ \text{V}$ si scarica con $\tau=0{,}50\ \text{s}$ . Quale tensione dopo $t=1{,}0\ \text{s}$ ?

Passo 1 — rapporto. $t/\tau=1{,}0/0{,}50=2{,}0$ .

Passo 2 — tensione di scarica.

$V_C=V_0\,e^{-t/\tau}=20\times e^{-2{,}0}=20\times0{,}135=2{,}71\ \text{V}.$

6. Tempo per raggiungere una tensione

Esercizio. Quanto tempo perché un condensatore (carica, $\varepsilon=10\ \text{V}$ , $\tau=0{,}20\ \text{s}$ ) raggiunga $V_C=8{,}0\ \text{V}$ ?

Passo 1 — impostare l’equazione di carica.

$8{,}0=10\times(1-e^{-t/\tau})\ \Rightarrow\ 1-e^{-t/\tau}=0{,}80\ \Rightarrow\ e^{-t/\tau}=0{,}20.$

Passo 2 — risolvere con i logaritmi.

$-\dfrac{t}{\tau}=\ln(0{,}20)=-1{,}61\ \Rightarrow\ t=1{,}61\,\tau=1{,}61\times0{,}20=0{,}322\ \text{s}.$

7. Tempo di dimezzamento della scarica

Esercizio. Dopo quanto tempo la tensione di un condensatore in scarica si dimezza ( $\tau=0{,}30\ \text{s}$ )?

Passo 1 — condizione. $V_C/V_0=0{,}50$ :

$e^{-t/\tau}=0{,}50\ \Rightarrow\ -\dfrac{t}{\tau}=\ln(0{,}50)=-0{,}693.$

Passo 2 — tempo.

$t=0{,}693\,\tau=0{,}693\times0{,}30=0{,}208\ \text{s}.$

8. Carica finale immagazzinata

Esercizio. Un condensatore $C=4{,}0\ \mu\text{F}$ si carica completamente a $\varepsilon=15\ \text{V}$ . Quale carica finale?

A regime ( $t\to\infty$ ) il condensatore raggiunge $V_C=\varepsilon$ :

$Q=CV=4{,}0\times10^{-6}\times15=6{,}0\times10^{-5}\ \text{C}=60\ \mu\text{C}.$

9. Significato della costante di tempo

Esercizio. Dopo quante costanti di tempo un condensatore è “praticamente carico”?

Dopo $t=5\tau$ , $e^{-5}=0{,}0067$ , quindi $V_C=\varepsilon(1-0{,}0067)=99{,}3\%\,\varepsilon$ :

$t=5\tau\ \Rightarrow\ V_C\approx99{,}3\%\ \text{della tensione finale}.$

Si considera completata carica o scarica dopo $\sim5\tau$ .

10. Energia immagazzinata a regime

Esercizio. Un condensatore $C=10\ \mu\text{F}$ si carica a $\varepsilon=12\ \text{V}$ . Quale energia immagazzina a regime?

\begin{aligned} U&=\dfrac{1}{2}CV^2\\ &=\dfrac{1}{2}\times10\times10^{-6}\times12^2\\ &=\dfrac{1}{2}\times10\times10^{-6}\times144\\ &=7{,}2\times10^{-4}\ \text{J} =0{,}72\ \text{mJ}. \end{aligned}

(Nota: durante la carica, la resistenza dissipa una quantità di energia uguale a quella immagazzinata; il rendimento della carica è solo $50\%$ .)

Sintesi

Fase	Tensione	Corrente
Carica	$V_C=\varepsilon(1-e^{-t/\tau})$	$I=(\varepsilon/R)e^{-t/\tau}$
Scarica	$V_C=V_0 e^{-t/\tau}$	$I=(V_0/R)e^{-t/\tau}$

$\tau=RC$ . A $t=\tau$ : carica al $63{,}2\%$ , scarica al $36{,}8\%$ . Completamento dopo $\sim5\tau$ .

Errori da evitare:

confondere le formule di carica ( $1-e^{-t/\tau}$ ) e scarica ( $e^{-t/\tau}$ );
credere che a $t=0$ il condensatore blocchi la corrente (si comporta da cortocircuito da scarico);
dimenticare che la carica/scarica non finisce mai esattamente (asintotica, $\sim5\tau$ in pratica).