Il ciclo Rankine è il ciclo termodinamico delle centrali termoelettriche a vapore. Le quattro fasi: pompaggio del liquido (pompa), riscaldamento e vaporizzazione (caldaia), espansione (turbina), condensazione (condensatore). Si lavora con le entalpie h nei quattro punti del ciclo:
\eta=\dfrac{l_\text{turbina}-l_\text{pompa}}{q_\text{caldaia}}=\dfrac{(h_3-h_4)-(h_2-h_1)}{h_3-h_2}.
Il titolo del vapore x indica la frazione di vapore in una miscela liquido-vapore: h=h_f+x\,(h_g-h_f), dove h_f e h_g sono le entalpie di liquido e vapore saturi.
1. Lavoro della turbina
Esercizio. In una turbina il vapore entra con h_3=3200\ \text{kJ/kg} ed esce con h_4=2100\ \text{kJ/kg} (espansione adiabatica ideale). Quale lavoro specifico?
l_t=h_3-h_4=3200-2100=1100\ \text{kJ/kg}.
2. Lavoro della pompa
Esercizio. La pompa porta l’acqua da h_1=190\ \text{kJ/kg} a h_2=200\ \text{kJ/kg}. Quale lavoro specifico?
l_p=h_2-h_1=200-190=10\ \text{kJ/kg}.
Il lavoro della pompa è piccolo (il liquido è quasi incomprimibile): per questo nelle stime si trascura spesso.
3. Calore fornito in caldaia
Esercizio. La caldaia porta l’acqua da h_2=200\ \text{kJ/kg} a vapore h_3=3200\ \text{kJ/kg}. Calore specifico fornito?
q_\text{cald}=h_3-h_2=3200-200=3000\ \text{kJ/kg}.
4. Rendimento del ciclo Rankine
Esercizio. Con i dati precedenti (l_t=1100, l_p=10, q_\text{cald}=3000\ \text{kJ/kg}), calcolare il rendimento.
Passo 1 — lavoro netto.
l_\text{netto}=l_t-l_p=1100-10=1090\ \text{kJ/kg}.
Passo 2 — rendimento.
\eta=\dfrac{l_\text{netto}}{q_\text{cald}}=\dfrac{1090}{3000}=0{,}363=36{,}3\%.
5. Rendimento trascurando la pompa
Esercizio. Per gli stessi dati, quanto cambia il rendimento trascurando il lavoro della pompa?
\eta\approx\dfrac{l_t}{q_\text{cald}}=\dfrac{1100}{3000}=0{,}367=36{,}7\%.
Differenza minima (36{,}7\% vs 36{,}3\%): trascurare la pompa introduce un errore trascurabile, conferma che l_p\ll l_t.
6. Titolo del vapore all’uscita della turbina
Esercizio. All’uscita della turbina il vapore ha h_4=2100\ \text{kJ/kg}, a una pressione dove h_f=190 e h_g=2580\ \text{kJ/kg}. Calcolare il titolo.
Da h_4=h_f+x(h_g-h_f):
x=\dfrac{h_4-h_f}{h_g-h_f}=\dfrac{2100-190}{2580-190}=\dfrac{1910}{2390}=0{,}799=79{,}9\%.
Il vapore allo scarico è all’80% di vapore e 20% di liquido: un titolo troppo basso danneggia le palette (erosione da gocce), per questo si usa il surriscaldamento.
7. Entalpia da titolo
Esercizio. Quale entalpia ha un vapore con titolo x=0{,}90 a una pressione con h_f=500 e h_g=2700\ \text{kJ/kg}?
h=h_f+x(h_g-h_f)=500+0{,}90\times(2700-500)=500+0{,}90\times2200=500+1980=2480\ \text{kJ/kg}.
8. Effetto del surriscaldamento
Esercizio. Surriscaldando il vapore, h_3 passa da 2800 a 3400\ \text{kJ/kg} e h_4 da 2000 a 2300\ \text{kJ/kg} (con h_2=200). Come cambia il rendimento (trascurando la pompa)?
Senza surriscaldamento: \eta=(2800-2000)/(2800-200)=800/2600=0{,}308.
Con surriscaldamento: \eta=(3400-2300)/(3400-200)=1100/3200=0{,}344.
Il surriscaldamento aumenta il rendimento (da 30{,}8\% a 34{,}4\%) e migliora il titolo allo scarico (vapore più “secco”).
9. Portata di vapore per una data potenza
Esercizio. Una centrale deve erogare P=500\ \text{MW} con lavoro netto l_\text{netto}=1090\ \text{kJ/kg}. Quale portata di vapore?
Da P=\dot{m}\,l_\text{netto}:
\dot{m}=\dfrac{P}{l_\text{netto}}=\dfrac{500\times10^6\ \text{W}}{1090\times10^3\ \text{J/kg}}=459\ \text{kg/s}.
Una grande centrale fa circolare centinaia di kg di vapore al secondo.
10. Calore ceduto al condensatore
Esercizio. Per il ciclo con q_\text{cald}=3000 e l_\text{netto}=1090\ \text{kJ/kg}, quanto calore si cede al condensatore?
Il calore ceduto è la differenza tra fornito e lavoro netto:
q_\text{cond}=q_\text{cald}-l_\text{netto}=3000-1090=1910\ \text{kJ/kg}.
Quasi due terzi del calore vanno dispersi nel condensatore (fiume, torre di raffreddamento): è la frazione 1-\eta imposta dal secondo principio.
11. Lavoro della pompa da v\Delta p
Esercizio. Stimare il lavoro specifico della pompa che comprime acqua liquida da p_1=0{,}1\ \text{MPa} a p_2=8{,}0\ \text{MPa}, con volume specifico v=0{,}001\ \text{m}^3/\text{kg}.
Per un liquido incomprimibile:
La variazione di pressione è:
Quindi:
Il valore è piccolo rispetto al lavoro di turbina, tipicamente centinaia o migliaia di \text{kJ/kg}.
12. Efficienza isentropica della turbina
Esercizio. Una turbina riceve vapore con h_3=3200\ \text{kJ/kg}. L’uscita isentropica ideale sarebbe h_{4s}=2000\ \text{kJ/kg}, ma l’uscita reale è h_4=2150\ \text{kJ/kg}. Calcolare l’efficienza isentropica.
Per una turbina:
Sostituendo:
L’efficienza isentropica è 87{,}5\%: la turbina reale produce meno lavoro dell’espansione ideale.
13. Heat rate della centrale
Esercizio. Una centrale Rankine ha rendimento \eta=0{,}363. Calcolare l’heat rate in \text{kJ/kWh} elettrico.
Per produrre 1\ \text{kWh} elettrico servono:
di lavoro utile. Il calore richiesto è:
L’heat rate è l’inverso operativo del rendimento: più è basso, meno combustibile serve per ogni kWh prodotto.
Sintesi
| Componente | Energia specifica |
|---|---|
| Turbina | l_t=h_3-h_4 |
| Pompa | l_p=h_2-h_1 |
| Caldaia | q_\text{cald}=h_3-h_2 |
| Condensatore | q_\text{cond}=h_4-h_1 |
| Rendimento | \eta=(l_t-l_p)/q_\text{cald} |
| Pompa liquido | l_p\simeq v\Delta p |
| Efficienza turbina | \eta_t=(h_3-h_4)/(h_3-h_{4s}) |
Titolo: h=h_f+x(h_g-h_f). Il surriscaldamento aumenta \eta e il titolo allo scarico.
Errori da evitare:
- dimenticare il lavoro della pompa (piccolo, ma a rigore va sottratto);
- calcolare il titolo con le entalpie sbagliate (usare h_f e h_g alla pressione corretta);
- confondere calore di caldaia (h_3-h_2) e di condensatore (h_4-h_1).
- invertire il rapporto nell’efficienza isentropica della turbina: il lavoro reale è minore dell’ideale;
- confondere rendimento e heat rate: uno cresce quando l’altro diminuisce.