Il ciclo Otto è il ciclo ideale dei motori a benzina (accensione comandata). È composto da quattro fasi: compressione adiabatica, combustione isocora (a volume costante), espansione adiabatica, scarico isocoro. Il rendimento dipende solo dal rapporto di compressione volumetrico r=V_1/V_2 e da \gamma:
\eta=1-\dfrac{1}{r^{\gamma-1}}.
Più alto è r, maggiore è il rendimento. Il limite pratico è la detonazione del carburante (autoaccensione) che impone r\lesssim10–11 per la benzina.
1. Rendimento del ciclo Otto
Esercizio. Un motore a benzina ha rapporto di compressione r=8{,}0 e gas con \gamma=1{,}40. Calcolare il rendimento.
Passo 1 — formula del ciclo Otto.
\eta=1-\dfrac{1}{r^{\gamma-1}}=1-\dfrac{1}{8{,}0^{0{,}40}}.
Passo 2 — calcolare r^{\gamma-1}.
8{,}0^{0{,}40}=e^{0{,}40\ln8}=e^{0{,}40\times2{,}079}=e^{0{,}832}=2{,}30.
Passo 3 — rendimento.
\eta=1-\dfrac{1}{2{,}30}=1-0{,}435=0{,}565=56{,}5\%.
2. Effetto del rapporto di compressione
Esercizio. Di quanto migliora il rendimento passando da r=8 a r=12 (\gamma=1{,}40)?
Passo 1 — r=8: (dall’esercizio 1) \eta_8=0{,}565.
Passo 2 — r=12: 12^{0{,}40}=e^{0{,}40\times2{,}485}=e^{0{,}994}=2{,}70; \eta_{12}=1-1/2{,}70=0{,}630.
Passo 3 — miglioramento. \Delta\eta=0{,}630-0{,}565=0{,}065=6{,}5 punti percentuali. Aumentare r migliora il rendimento (limitato dalla detonazione del carburante).
3. Rapporto di compressione da rendimento
Esercizio. Quale rapporto di compressione serve per un rendimento \eta=0{,}55 (\gamma=1{,}40)?
Passo 1 — isolare r^{\gamma-1}.
\eta=1-\dfrac{1}{r^{\gamma-1}}\ \Rightarrow\ r^{\gamma-1}=\dfrac{1}{1-\eta}=\dfrac{1}{0{,}45}=2{,}22.
Passo 2 — risolvere per r.
r=2{,}22^{1/0{,}40}=2{,}22^{2{,}5}=e^{2{,}5\times0{,}798}=e^{1{,}995}=7{,}35.
4. Temperatura dopo la compressione adiabatica
Esercizio. Nella compressione adiabatica (r=9{,}0, \gamma=1{,}40), l’aria entra a T_1=320\ \text{K}. Temperatura dopo la compressione?
Compressione adiabatica TV^{\gamma-1}= cost, con rapporto di volumi r:
T_2=T_1\,r^{\gamma-1}=320\times9{,}0^{0{,}40}=320\times2{,}41=771\ \text{K}.
5. Pressione dopo la compressione
Esercizio. Per la compressione precedente, se P_1=1{,}0\times10^5\ \text{Pa}, quale pressione P_2 (r=9{,}0, \gamma=1{,}40)?
Legge adiabatica PV^\gamma= cost:
6. Temperatura dopo la combustione isocora
Esercizio. Dopo la compressione (T_2=771\ \text{K}), la combustione a volume costante fornisce q=600\ \text{kJ/kg} a un gas con c_v=720\ \text{J/(kg·K)}. Temperatura massima T_3?
A volume costante q=c_v(T_3-T_2):
T_3=T_2+\dfrac{q}{c_v}=771+\dfrac{600\,000}{720}=771+833=1604\ \text{K}.
7. Lavoro netto da rendimento e calore
Esercizio. Un ciclo Otto con \eta=0{,}56 assorbe Q_1=3000\ \text{J} per ciclo (combustione). Quale lavoro netto?
L=\eta Q_1=0{,}56\times3000=1680\ \text{J}.
8. Calore disperso allo scarico
Esercizio. Per il ciclo precedente (Q_1=3000\ \text{J}, L=1680\ \text{J}), quanto calore si disperde nello scarico?
Q_2=Q_1-L=3000-1680=1320\ \text{J}.
Il 44\% del calore si perde allo scarico: è la frazione 1-\eta.
9. Confronto con Carnot
Esercizio. Un ciclo Otto opera tra T_\text{min}=300\ \text{K} e T_\text{max}=1500\ \text{K} con \eta=0{,}56. Quale sarebbe il rendimento di Carnot tra le stesse temperature?
\eta_\text{Carnot}=1-\dfrac{T_\text{min}}{T_\text{max}}=1-\dfrac{300}{1500}=1-0{,}20=0{,}80=80\%.
Carnot (80\%) supera l’Otto (56\%): nessun ciclo reale raggiunge Carnot, che dà il limite superiore teorico tra due temperature.
10. Perché non si supera un certo rapporto di compressione
Esercizio. Un rendimento maggiore richiederebbe r=15, ma il motore “batte in testa”. Perché?
A r alto la temperatura di fine compressione (T_2=T_1 r^{\gamma-1}) sale tanto da provocare l’autoaccensione della miscela aria-benzina prima della scintilla (detonazione): combustione incontrollata che danneggia il motore. Per questo la benzina limita r a \sim10–11; il Diesel, comprimendo solo aria, può usare r molto più alti.
Sintesi
| Grandezza | Formula |
|---|---|
| Rendimento | \eta=1-1/r^{\gamma-1} |
| Temperatura compressione | T_2=T_1 r^{\gamma-1} |
| Pressione compressione | P_2=P_1 r^\gamma |
| Combustione isocora | q=c_v(T_3-T_2) |
| Calore scarico | Q_2=Q_1(1-\eta) |
Il rendimento cresce con r, limitato dalla detonazione. Resta sempre sotto Carnot.
Errori da evitare:
- usare l’esponente \gamma invece di \gamma-1 nel rendimento (la pressione usa \gamma, il rendimento \gamma-1);
- usare °C invece di K nelle relazioni adiabatiche e in Carnot;
- credere che il rendimento Otto possa eguagliare Carnot.