Il ciclo Diesel è il ciclo ideale dei motori a gasolio (accensione spontanea per compressione). Differisce dall’Otto perché la combustione avviene a pressione costante (non a volume costante). Le fasi: compressione adiabatica, combustione isobara, espansione adiabatica, scarico isocoro. Il rendimento dipende dal rapporto di compressione r, dal rapporto di cut-off r_c=V_3/V_2 (espansione durante la combustione) e da \gamma:
\eta=1-\dfrac{1}{r^{\gamma-1}}\cdot\dfrac{r_c^\gamma-1}{\gamma(r_c-1)}.
Poiché si comprime solo aria (il gasolio è iniettato dopo), il Diesel usa r molto alti (15–22), ottenendo rendimenti elevati.
1. Rendimento del ciclo Diesel
Esercizio. Un ciclo Diesel ha r=18, r_c=2{,}0, \gamma=1{,}40. Calcolare il rendimento.
Passo 1 — termine 1/r^{\gamma-1}.
18^{0{,}40}=e^{0{,}40\times2{,}890}=e^{1{,}156}=3{,}18\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{3{,}18}=0{,}315.
Passo 2 — fattore di cut-off.
\dfrac{r_c^\gamma-1}{\gamma(r_c-1)}=\dfrac{2{,}0^{1{,}40}-1}{1{,}40\times(2{,}0-1)}=\dfrac{2{,}64-1}{1{,}40}=\dfrac{1{,}64}{1{,}40}=1{,}17.
Passo 3 — rendimento.
\eta=1-0{,}315\times1{,}17=1-0{,}369=0{,}631=63{,}1\%.
2. Effetto del rapporto di cut-off
Esercizio. Per lo stesso motore (r=18, \gamma=1{,}40), come cambia il rendimento se r_c sale a 3{,}0?
Passo 1 — nuovo fattore di cut-off.
\dfrac{3{,}0^{1{,}40}-1}{1{,}40\times(3{,}0-1)}=\dfrac{4{,}66-1}{2{,}80}=\dfrac{3{,}66}{2{,}80}=1{,}31.
Passo 2 — rendimento.
\eta=1-0{,}315\times1{,}31=1-0{,}413=0{,}587=58{,}7\%.
Un cut-off maggiore (più combustibile iniettato, carico più alto) riduce il rendimento: il termine di cut-off è sempre \ge1 e cresce con r_c.
3. Temperatura dopo la compressione
Esercizio. Nella compressione adiabatica (r=20, \gamma=1{,}40), l’aria entra a T_1=310\ \text{K}. Temperatura T_2?
T_2=T_1\,r^{\gamma-1}=310\times20^{0{,}40}=310\times e^{0{,}40\times2{,}996}=310\times e^{1{,}198}=310\times3{,}31=1026\ \text{K}.
Questa temperatura altissima (>1000 K) provoca l’autoaccensione del gasolio iniettato: il Diesel non ha candele.
4. Temperatura dopo la combustione isobara
Esercizio. Dopo la compressione (T_2=1026\ \text{K}), la combustione isobara porta il volume da V_2 a V_3=r_c V_2 con r_c=2{,}0. Quale temperatura T_3?
A pressione costante V/T= cost, quindi T_3=T_2\,r_c:
T_3=1026\times2{,}0=2052\ \text{K}.
5. Rapporto di compressione del Diesel vs benzina
Esercizio. Perché il Diesel può usare r=20 mentre la benzina si ferma a r\approx10?
Nel Diesel si comprime solo aria, e il gasolio è iniettato a fine compressione: non c’è miscela che possa detonare prematuramente. Nel motore a benzina si comprime la miscela aria-benzina, che a r alto si autoaccende (detonazione, “battito in testa”). Per questo il Diesel raggiunge r molto più alti e rendimenti superiori.
6. Confronto Diesel vs Otto (a parità di γ)
Esercizio. Un motore Diesel ha r=20, r_c=2; uno a benzina (Otto) r=9 (entrambi \gamma=1{,}40). Confronta i rendimenti.
Otto (r=9): \eta=1-1/9^{0{,}40}=1-1/2{,}41=0{,}585.
Diesel (r=20, r_c=2): 20^{0{,}40}=3{,}31; fattore cut-off =1{,}17; \eta=1-(1/3{,}31)\times1{,}17=1-0{,}353=0{,}647.
Il Diesel (64{,}7\%) batte l’Otto (58{,}5\%) grazie al rapporto di compressione molto più alto, consentito dall’iniezione separata del combustibile.
7. A parità di rapporto di compressione (Otto > Diesel)
Esercizio. A parità di r=15 (\gamma=1{,}40, Diesel con r_c=2), quale ciclo rende di più?
Otto (r=15): 15^{0{,}40}=e^{0{,}40\times2{,}708}=e^{1{,}083}=2{,}95; \eta=1-1/2{,}95=0{,}661.
Diesel (r=15, r_c=2): \eta=1-(1/2{,}95)\times1{,}17=1-0{,}397=0{,}603.
A parità di r l’Otto rende di più (66{,}1\% vs 60{,}3\%), perché il fattore di cut-off del Diesel (>1) penalizza. Il Diesel vince solo perché in pratica usa r molto più alti.
8. Lavoro netto del ciclo
Esercizio. Un ciclo Diesel con \eta=0{,}63 assorbe Q_1=2500\ \text{J} per ciclo. Lavoro netto e calore disperso?
Passo 1 — lavoro. L=\eta Q_1=0{,}63\times2500=1575\ \text{J}.
Passo 2 — calore disperso. Q_2=Q_1-L=2500-1575=925\ \text{J}.
9. Confronto con Carnot
Esercizio. Un ciclo Diesel opera tra T_\text{min}=310\ \text{K} e T_\text{max}=2052\ \text{K} con \eta=0{,}63. Rendimento di Carnot tra le stesse temperature?
\eta_\text{Carnot}=1-\dfrac{T_\text{min}}{T_\text{max}}=1-\dfrac{310}{2052}=1-0{,}151=0{,}849=84{,}9\%.
Carnot (85\%) supera il Diesel (63\%): il ciclo reale resta sotto il limite teorico.
10. Limite del rendimento al variare del carico
Esercizio. Cosa accade al rendimento Diesel quando il carico (e quindi r_c) aumenta molto?
All’aumentare di r_c il fattore \dfrac{r_c^\gamma-1}{\gamma(r_c-1)} cresce, quindi il rendimento diminuisce. Un motore Diesel è perciò più efficiente a carichi parziali (piccolo r_c) che a pieno carico: l’opposto intuitivo, ma conseguenza diretta della combustione isobara.
Sintesi
Indicando con F_c il fattore di cut-off:
| Grandezza | Formula |
|---|---|
| Rendimento | \eta=1-F_c/r^{\gamma-1} |
| Temperatura compressione | T_2=T_1 r^{\gamma-1} |
| Temperatura combustione | T_3=T_2 r_c |
| Fattore di cut-off | \ge1, cresce con r_c |
A parità di r, l’Otto rende più del Diesel; il Diesel vince usando r molto più alti (solo aria compressa).
Errori da evitare:
- usare la formula del rendimento Otto per il Diesel (manca il fattore di cut-off);
- dimenticare che il fattore di cut-off riduce sempre il rendimento (\ge1);
- credere che il Diesel renda più dell’Otto a parità di rapporto di compressione (è il contrario).