Il ciclo di Carnot è la macchina termica ideale reversibile che opera tra due sorgenti a temperature T_1 (calda) e T_2 (fredda). Il suo rendimento dipende solo dalle temperature assolute:
\eta_\text{Carnot}=1-\dfrac{T_2}{T_1}.
Il teorema di Carnot afferma che nessuna macchina reale può superare il rendimento di Carnot operando tra le stesse temperature. Invertendo il ciclo si ottiene un frigorifero o pompa di calore, valutati dal coefficiente di prestazione (COP). Le temperature vanno sempre in kelvin.
1. Rendimento di Carnot
Esercizio. Una macchina di Carnot opera tra T_1=500\ \text{K} e T_2=300\ \text{K}. Calcolare il rendimento.
\eta=1-\dfrac{T_2}{T_1}=1-\dfrac{300}{500}=1-0{,}60=0{,}40=40\%.
2. Carnot con temperature in Celsius
Esercizio. Una macchina di Carnot lavora tra 200\ °C e 20\ °C. Rendimento?
Passo 1 — convertire in kelvin. T_1=200+273=473\ \text{K}; T_2=20+273=293\ \text{K}.
Passo 2 — rendimento.
\eta=1-\dfrac{293}{473}=1-0{,}619=0{,}381=38{,}1\%.
Errore comune: usare i °C nel rapporto (darebbe 1-20/200=0{,}90, sbagliato).
3. Teorema di Carnot (confronto con reale)
Esercizio. Una macchina reale tra 600\ \text{K} e 300\ \text{K} ha rendimento \eta=0{,}45. È possibile?
Passo 1 — rendimento di Carnot (massimo teorico):
\eta_\text{Carnot}=1-\dfrac{300}{600}=0{,}50=50\%.
Passo 2 — confronto. La macchina reale ha \eta=0{,}45<0{,}50: possibile (rispetta il teorema di Carnot). Se fosse stata \eta>0{,}50, sarebbe impossibile.
4. Temperatura per un rendimento dato
Esercizio. A quale temperatura della sorgente fredda una macchina di Carnot con T_1=800\ \text{K} avrebbe \eta=0{,}60?
Da \eta=1-T_2/T_1:
T_2=T_1(1-\eta)=800\times(1-0{,}60)=800\times0{,}40=320\ \text{K}.
5. Lavoro di una macchina di Carnot
Esercizio. Una macchina di Carnot (T_1=400\ \text{K}, T_2=250\ \text{K}) assorbe Q_1=1200\ \text{J}. Quale lavoro produce e quale calore cede?
Passo 1 — rendimento. \eta=1-250/400=1-0{,}625=0{,}375.
Passo 2 — lavoro. L=\eta Q_1=0{,}375\times1200=450\ \text{J}.
Passo 3 — calore ceduto. Q_2=Q_1-L=1200-450=750\ \text{J}.
(Verifica con Q_2/Q_1=T_2/T_1: 750/1200=0{,}625=250/400.) ✓
6. Relazione tra calori e temperature (Carnot)
Esercizio. Per una macchina di Carnot vale Q_2/Q_1=T_2/T_1. Verificare con T_1=500\ \text{K}, T_2=400\ \text{K}, Q_1=2500\ \text{J}.
Q_2=Q_1\dfrac{T_2}{T_1}=2500\times\dfrac{400}{500}=2500\times0{,}80=2000\ \text{J}.
Questa relazione (caratteristica del ciclo reversibile) è la base della definizione di entropia.
7. Frigorifero: coefficiente di prestazione
In un frigorifero si fornisce lavoro L per estrarre calore Q_2 dalla sorgente fredda. Il COP è \text{COP}_\text{frigo}=\dfrac{Q_2}{L}; per un frigorifero di Carnot \text{COP}=\dfrac{T_2}{T_1-T_2}.
Esercizio. Un frigorifero di Carnot opera tra T_2=270\ \text{K} (interno) e T_1=300\ \text{K} (ambiente). Calcolare il COP.
\text{COP}=\dfrac{T_2}{T_1-T_2}=\dfrac{270}{300-270}=\dfrac{270}{30}=9{,}0.
Per ogni joule di lavoro si estraggono 9 joule di calore dall’interno.
8. Lavoro di un frigorifero
Esercizio. Il frigorifero precedente (COP =9{,}0) deve estrarre Q_2=1800\ \text{J} dall’interno. Quale lavoro serve?
Da \text{COP}=Q_2/L:
L=\dfrac{Q_2}{\text{COP}}=\dfrac{1800}{9{,}0}=200\ \text{J}.
9. Pompa di calore
In una pompa di calore interessa il calore Q_1 fornito all’ambiente caldo: \text{COP}_\text{pompa}=\dfrac{Q_1}{L}=\dfrac{T_1}{T_1-T_2}. Sempre maggiore di 1.
Esercizio. Una pompa di calore di Carnot riscalda una casa a T_1=295\ \text{K} prelevando calore dall’esterno a T_2=275\ \text{K}. Calcolare il COP e il calore fornito per 1{,}0\ \text{kJ} di lavoro.
Passo 1 — COP.
\text{COP}=\dfrac{T_1}{T_1-T_2}=\dfrac{295}{295-275}=\dfrac{295}{20}=14{,}75.
Passo 2 — calore fornito.
Q_1=\text{COP}\times L=14{,}75\times1000=14\,750\ \text{J}\approx14{,}8\ \text{kJ}.
Con 1\ \text{kJ} di elettricità si forniscono \sim15\ \text{kJ} di calore: la pompa è molto più efficiente di una stufa elettrica (che darebbe solo 1\ \text{kJ}).
10. Relazione tra COP di frigo e pompa
Esercizio. Mostrare che \text{COP}_\text{pompa}=\text{COP}_\text{frigo}+1.
Dalle definizioni \text{COP}_\text{pompa}=Q_1/L e \text{COP}_\text{frigo}=Q_2/L, con L=Q_1-Q_2:
\text{COP}_\text{pompa}=\dfrac{Q_1}{L}=\dfrac{Q_2+L}{L}=\dfrac{Q_2}{L}+1=\text{COP}_\text{frigo}+1.
La pompa di calore “rende” sempre un’unità in più del frigorifero corrispondente (perché fornisce anche il lavoro stesso come calore).
Sintesi
| Macchina | Prestazione | Carnot |
|---|---|---|
| Termica | \eta=L/Q_1 | \eta=1-T_2/T_1 |
| Frigorifero | \text{COP}=Q_2/L | T_2/(T_1-T_2) |
| Pompa di calore | \text{COP}=Q_1/L | T_1/(T_1-T_2) |
Relazione Carnot: Q_2/Q_1=T_2/T_1. Teorema: nessuna macchina supera Carnot. \text{COP}_\text{pompa}=\text{COP}_\text{frigo}+1.
Errori da evitare:
- usare °C invece di K nelle formule di Carnot (sono temperature assolute);
- confondere COP del frigorifero (Q_2/L) e della pompa (Q_1/L);
- dimenticare che il COP può essere >1 (non è un rendimento limitato a 1).