Il ciclo Brayton è il ciclo ideale delle turbine a gas (motori aeronautici, centrali turbogas). Le quattro fasi: compressione adiabatica (compressore), combustione isobara (camera di combustione), espansione adiabatica (turbina), cessione isobara di calore. Il rendimento dipende solo dal rapporto di pressione r_p=P_2/P_1 e da \gamma:
\eta=1-\dfrac{1}{r_p^{(\gamma-1)/\gamma}}.
Nota l’esponente (\gamma-1)/\gamma, diverso da quello del ciclo Otto. Il rendimento cresce con r_p.
1. Rendimento del ciclo Brayton
Esercizio. Una turbina a gas ha rapporto di pressione r_p=10 e \gamma=1{,}40. Calcolare il rendimento.
Passo 1 — esponente. (\gamma-1)/\gamma=0{,}40/1{,}40=0{,}286.
Passo 2 — calcolare r_p^{(\gamma-1)/\gamma}.
10^{0{,}286}=e^{0{,}286\times2{,}303}=e^{0{,}659}=1{,}93.
Passo 3 — rendimento.
\eta=1-\dfrac{1}{1{,}93}=1-0{,}518=0{,}482=48{,}2\%.
2. Effetto del rapporto di pressione
Esercizio. Di quanto migliora il rendimento passando da r_p=10 a r_p=20 (\gamma=1{,}40)?
Passo 1 — r_p=10: \eta_{10}=0{,}482 (esercizio 1).
Passo 2 — r_p=20: 20^{0{,}286}=e^{0{,}286\times2{,}996}=e^{0{,}857}=2{,}36; \eta_{20}=1-1/2{,}36=0{,}576.
Passo 3 — miglioramento. \Delta\eta=0{,}576-0{,}482=0{,}094=9{,}4 punti percentuali. Aumentare r_p migliora il rendimento (limitato dalla temperatura massima sopportabile dalle palette della turbina).
3. Rapporto di pressione da rendimento
Esercizio. Quale rapporto di pressione serve per \eta=0{,}50 (\gamma=1{,}40)?
Passo 1 — isolare r_p^{(\gamma-1)/\gamma}.
r_p^{0{,}286}=\dfrac{1}{1-\eta}=\dfrac{1}{0{,}50}=2{,}0.
Passo 2 — risolvere.
r_p=2{,}0^{1/0{,}286}=2{,}0^{3{,}497}=e^{3{,}497\times0{,}693}=e^{2{,}424}=11{,}3.
4. Temperatura dopo il compressore
Esercizio. L’aria entra nel compressore a T_1=300\ \text{K} e r_p=12 (\gamma=1{,}40). Temperatura T_2 all’uscita?
Per l’adiabatica T_2/T_1=r_p^{(\gamma-1)/\gamma}:
T_2=T_1\,r_p^{0{,}286}=300\times12^{0{,}286}=300\times e^{0{,}286\times2{,}485}=300\times e^{0{,}711}=300\times2{,}04=611\ \text{K}.
5. Lavoro del compressore
Esercizio. Per il compressore precedente (T_1=300, T_2=611\ \text{K}), calcolare il lavoro specifico (c_p=1005\ \text{J/(kg·K)}).
Il lavoro di compressione (adiabatica) è l_c=c_p(T_2-T_1):
l_c=1005\times(611-300)=1005\times311=3{,}13\times10^5\ \text{J/kg}=313\ \text{kJ/kg}.
6. Lavoro della turbina
Esercizio. Il gas entra in turbina a T_3=1300\ \text{K} e si espande con lo stesso r_p=12, uscendo a T_4. Calcolare T_4 e il lavoro della turbina (c_p=1005).
Passo 1 — temperatura di uscita (espansione, T_3/T_4=r_p^{(\gamma-1)/\gamma}):
T_4=\dfrac{T_3}{r_p^{0{,}286}}=\dfrac{1300}{2{,}04}=637\ \text{K}.
Passo 2 — lavoro turbina.
l_t=c_p(T_3-T_4)=1005\times(1300-637)=1005\times663=6{,}66\times10^5\ \text{J/kg}=666\ \text{kJ/kg}.
7. Lavoro netto della turbina a gas
Esercizio. Calcolare il lavoro netto specifico del ciclo precedente (l_t=666, l_c=313\ \text{kJ/kg}).
Il lavoro netto è la differenza tra turbina e compressore:
l_\text{netto}=l_t-l_c=666-313=353\ \text{kJ/kg}.
Una grande frazione del lavoro della turbina serve a muovere il compressore: questo è il “back-work ratio” tipico delle turbine a gas (l_c/l_t=313/666=47\%).
8. Confronto Brayton vs Otto
Esercizio. A parità di “rapporto” numerico (r=r_p=10, \gamma=1{,}40), confronta i rendimenti Otto e Brayton.
Otto (esponente \gamma-1=0{,}40): \eta=1-1/10^{0{,}40}=1-1/2{,}51=0{,}602.
Brayton (esponente (\gamma-1)/\gamma=0{,}286): \eta=1-1/10^{0{,}286}=0{,}482.
L’Otto ha esponente maggiore, quindi rendimento superiore a parità di rapporto numerico. Ma i due “rapporti” sono grandezze fisicamente diverse: volumetrico (Otto) vs di pressione (Brayton).
9. Confronto con Carnot
Esercizio. Un ciclo Brayton opera tra T_\text{min}=300\ \text{K} e T_\text{max}=1300\ \text{K} con \eta=0{,}48. Rendimento di Carnot tra le stesse temperature?
\eta_\text{Carnot}=1-\dfrac{T_\text{min}}{T_\text{max}}=1-\dfrac{300}{1300}=1-0{,}231=0{,}769=76{,}9\%.
Carnot (77\%) supera il Brayton (48\%): il ciclo reale resta sotto il limite teorico.
10. Limite imposto dalla temperatura di turbina
Esercizio. Perché non si aumenta r_p all’infinito per massimizzare il rendimento?
Aumentando r_p sale la temperatura T_2 dopo il compressore, e per mantenere lavoro netto adeguato deve salire anche T_3 (ingresso turbina). Ma T_3 è limitata dalla resistenza dei materiali delle palette (\sim1500–1700\ \text{K} con raffreddamento). Inoltre, oltre un r_p ottimale il lavoro netto diminuisce (il compressore “mangia” troppo lavoro). Esiste quindi un r_p ottimale di compromesso.
Sintesi
| Grandezza | Formula |
|---|---|
| Rendimento | \eta=1-1/r_p^{(\gamma-1)/\gamma} |
| Temperatura compressore | T_2=T_1 r_p^{(\gamma-1)/\gamma} |
| Lavoro compressore | l_c=c_p(T_2-T_1) |
| Lavoro turbina | l_t=c_p(T_3-T_4) |
| Lavoro netto | l_\text{netto}=l_t-l_c |
L’esponente Brayton è (\gamma-1)/\gamma (≠ Otto). Gran parte del lavoro turbina muove il compressore.
Errori da evitare:
- usare l’esponente del ciclo Otto (\gamma-1) invece di (\gamma-1)/\gamma;
- dimenticare di sottrarre il lavoro del compressore (back-work) dal lavoro netto;
- usare °C invece di K nelle relazioni adiabatiche e in Carnot.