Campo magnetico e legge di Biot-Savart: esercizi svolti

Le correnti elettriche generano campi magnetici. La legge di Biot-Savart dà il campo prodotto da una corrente, e per le geometrie comuni si ottengono formule chiuse. La costante è la permeabilità del vuoto $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{T·m/A}$ .

Campi notevoli:

$\text{filo rettilineo infinito:}\quad B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r};$ $\text{centro di spira circolare:}\quad B=\dfrac{\mu_0 I}{2R};$ $\text{interno di solenoide:}\quad B=\mu_0 n I,$

con $n$ numero di spire per unità di lunghezza. Le linee di campo magnetico sono chiuse (non esistono monopoli magnetici).

1. Campo di un filo rettilineo

Esercizio. Un filo infinito porta $I=10\ \text{A}$ . Calcolare il campo a $r=0{,}05\ \text{m}$ .

\begin{aligned} B&=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\\ &=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times10}{2\pi\times0{,}05}\\ &=\dfrac{2\times10^{-7}\times10}{0{,}05}\\ &=\dfrac{2{,}0\times10^{-6}}{0{,}05}\\ &=4{,}0\times10^{-5}\ \text{T}. \end{aligned}

(Si è usato $\mu_0/2\pi=2\times10^{-7}$ .) Il campo va come $1/r$ .

2. Distanza per un campo dato

Esercizio. A quale distanza da un filo con $I=20\ \text{A}$ il campo vale $B=1{,}0\times10^{-4}\ \text{T}$ ?

Isolando $r$ :

\begin{aligned} r &=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi B}\\ &=\dfrac{2\times10^{-7}\times20}{1{,}0\times10^{-4}}\\ &=\dfrac{4{,}0\times10^{-6}}{1{,}0\times10^{-4}}\\ &=0{,}040\ \text{m} =4{,}0\ \text{cm}. \end{aligned}

3. Campo al centro di una spira

Esercizio. Una spira circolare di raggio $R=0{,}10\ \text{m}$ porta $I=5{,}0\ \text{A}$ . Campo al centro?

$B=\dfrac{\mu_0 I}{2R}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times5{,}0}{2\times0{,}10}=\dfrac{6{,}28\times10^{-6}}{0{,}20}=3{,}14\times10^{-5}\ \text{T}.$

4. Campo di N spire (bobina)

Esercizio. Una bobina di $N=50$ spire di raggio $R=0{,}08\ \text{m}$ porta $I=2{,}0\ \text{A}$ . Campo al centro?

Per $N$ spire concentriche i contributi si sommano: $B=\dfrac{\mu_0 N I}{2R}$ :

$B=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times50\times2{,}0}{2\times0{,}08}=\dfrac{1{,}257\times10^{-4}}{0{,}16}=7{,}85\times10^{-4}\ \text{T}.$

5. Campo di un solenoide

Esercizio. Un solenoide ha $n=2000\ \text{spire/m}$ e porta $I=3{,}0\ \text{A}$ . Campo interno?

$B=\mu_0 n I=4\pi\times10^{-7}\times2000\times3{,}0=1{,}257\times10^{-6}\times6000=7{,}54\times10^{-3}\ \text{T}.$

Il campo interno di un solenoide è uniforme e indipendente dal raggio.

6. Spire per unità di lunghezza

Esercizio. Un solenoide ha $N=500$ spire su una lunghezza $L=0{,}25\ \text{m}$ . Quante spire per metro?

$n=\dfrac{N}{L}=\dfrac{500}{0{,}25}=2000\ \text{spire/m}.$

7. Sovrapposizione: due fili paralleli (campi concordi)

Esercizio. Due fili paralleli a distanza $0{,}20\ \text{m}$ portano $I_1=I_2=8{,}0\ \text{A}$ nello stesso verso. Campo nel punto medio?

Passo 1 — campo di ciascun filo nel punto medio (distanza $0{,}10\ \text{m}$ ):

$B_1=B_2=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}=\dfrac{2\times10^{-7}\times8{,}0}{0{,}10}=1{,}6\times10^{-5}\ \text{T}.$

Passo 2 — sovrapposizione. Nel punto medio i due campi (correnti concordi) sono opposti e si annullano:

$B=B_1-B_2=0\ \text{T}.$

Tra due correnti concordi, nel punto medio il campo è nullo.

8. Forza tra due fili paralleli

Due fili paralleli si attraggono (correnti concordi) o respingono (discordi): $\dfrac{F}{L}=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$ .

Esercizio. Due fili distanti $d=0{,}10\ \text{m}$ portano $I_1=10\ \text{A}$ e $I_2=15\ \text{A}$ concordi. Forza per metro?

\begin{aligned} \dfrac{F}{L} &=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}\\ &=\dfrac{2\times10^{-7}\times10\times15}{0{,}10}\\ &=\dfrac{3{,}0\times10^{-5}}{0{,}10}\\ &=3{,}0\times10^{-4}\ \text{N/m}. \end{aligned}

Correnti concordi → forza attrattiva.

9. Campo sull’asse di una spira

Esercizio. Calcolare il campo a distanza $x=0{,}10\ \text{m}$ sull’asse di una spira di raggio $R=0{,}10\ \text{m}$ con $I=4{,}0\ \text{A}$ . (formula $B=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}$ ).

Passo 1 — denominatore.

\begin{aligned} R^2+x^2 &=0{,}10^2+0{,}10^2 =0{,}020,\\ (0{,}020)^{3/2} &=0{,}020\times\sqrt{0{,}020}\\ &=0{,}020\times0{,}1414\\ &=2{,}83\times10^{-3}. \end{aligned}

Passo 2 — campo.

\begin{aligned} B&=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times4{,}0\times0{,}10^2}{2\times2{,}83\times10^{-3}}\\ &=\dfrac{1{,}257\times10^{-6}\times0{,}010}{5{,}66\times10^{-3}}\\ &=\dfrac{1{,}257\times10^{-8}}{5{,}66\times10^{-3}}\\ &=2{,}22\times10^{-6}\ \text{T}. \end{aligned}

Minore del campo al centro ( $2{,}51\times10^{-5}\ \text{T}$ ): il campo decresce allontanandosi dal piano della spira.

10. Effetto del raddoppio della corrente

Esercizio. Se si raddoppia la corrente in un solenoide, come cambia il campo?

Da $B=\mu_0 n I$ , $B\propto I$ :

$\dfrac{B_2}{B_1}=\dfrac{I_2}{I_1}=2.$

Il campo raddoppia: relazione lineare tra campo e corrente.

Sintesi

Sorgente	Campo
Filo infinito	$B=\mu_0 I/(2\pi r)$
Centro spira	$B=\mu_0 I/(2R)$
N spire	$B=\mu_0 NI/(2R)$
Solenoide	$B=\mu_0 nI$
Forza tra fili	$F/L=\mu_0 I_1 I_2/(2\pi d)$

$\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{T·m/A}$ ; $\mu_0/2\pi=2\times10^{-7}$ . Filo: $\propto1/r$ ; solenoide: uniforme.

Errori da evitare:

confondere campo al centro della spira ( $\mu_0 I/2R$ ) con quello del filo ( $\mu_0 I/2\pi r$ );
dimenticare il numero di spire $N$ o $n$ nelle bobine/solenoidi;
sbagliare il verso della sovrapposizione (regola della mano destra per ogni sorgente).