Il campo elettrico \vec{E} è la forza per unità di carica di prova: \vec{E}=\vec{F}/q. Per una carica puntiforme:
E=k\dfrac{|q|}{r^2},\qquad k=8{,}99\times10^9\ \dfrac{\text{N·m}^2}{\text{C}^2}.
Il campo è diretto uscente dalle cariche positive ed entrante in quelle negative. Si misura in N/C (o V/m). Per più cariche vale il principio di sovrapposizione: il campo totale è la somma vettoriale dei campi. La forza su una carica q immersa nel campo è \vec{F}=q\vec{E}.
1. Campo di una carica puntiforme
Esercizio. Calcolare il campo elettrico a r=0{,}30\ \text{m} da una carica q=5{,}0\ \mu\text{C}.
Diretto verso l’esterno (carica positiva).
2. Forza su una carica nel campo
Esercizio. Una carica q=-2{,}0\ \mu\text{C} è posta in un campo E=4{,}99\times10^5\ \text{N/C}. Quale forza?
F=|q|E=2{,}0\times10^{-6}\times4{,}99\times10^5=0{,}998\ \text{N}.
La carica negativa subisce una forza opposta al campo (verso la carica sorgente).
3. Campo da forza misurata
Esercizio. Una carica di prova q=4{,}0\times10^{-9}\ \text{C} subisce una forza F=1{,}2\times10^{-4}\ \text{N}. Quale campo?
E=\dfrac{F}{q}=\dfrac{1{,}2\times10^{-4}}{4{,}0\times10^{-9}}=3{,}0\times10^4\ \text{N/C}.
4. Sovrapposizione: campo tra due cariche
Esercizio. Due cariche q_1=3{,}0\ \mu\text{C} a x=0 e q_2=3{,}0\ \mu\text{C} a x=0{,}40\ \text{m}. Campo nel punto medio x=0{,}20\ \text{m}.
Passo 1 — campo di q_1 (verso +x, distanza 0{,}20):
E_1=k\dfrac{q_1}{r^2}=8{,}99\times10^9\times\dfrac{3{,}0\times10^{-6}}{0{,}20^2}=6{,}74\times10^5\ \text{N/C (verso }+x).
Passo 2 — campo di q_2 (verso -x, stessa distanza e carica): E_2=6{,}74\times10^5\ \text{N/C (verso }-x).
Passo 3 — somma. I due campi sono uguali e opposti:
E=E_1-E_2=0\ \text{N/C}.
Nel punto medio tra due cariche uguali il campo è nullo (per simmetria).
5. Punto di campo nullo (cariche diverse)
Esercizio. q_1=4{,}0\ \mu\text{C} a x=0, q_2=1{,}0\ \mu\text{C} a x=0{,}30\ \text{m}. Dove il campo è nullo?
Passo 1 — il punto sta tra le cariche (stesso segno, campi opposti). A distanza x da q_1:
k\dfrac{q_1}{x^2}=k\dfrac{q_2}{(0{,}30-x)^2}\ \Rightarrow\ \dfrac{4{,}0}{x^2}=\dfrac{1{,}0}{(0{,}30-x)^2}.
Passo 2 — radice quadrata.
\dfrac{0{,}30-x}{x}=\sqrt{\dfrac{1{,}0}{4{,}0}}=0{,}50\ \Rightarrow\ 0{,}30-x=0{,}50\,x\ \Rightarrow\ x=0{,}20\ \text{m}.
Campo nullo a 0{,}20\ \text{m} da q_1.
6. Campo di un dipolo (sull’asse)
Esercizio. Un dipolo ha +q a x=+a e -q a x=-a, con q=2{,}0\ \mu\text{C} e a=0{,}05\ \text{m}. Campo nel punto x=0{,}20\ \text{m} sull’asse.
Passo 1 — distanze. Dalla carica +q: 0{,}20-0{,}05=0{,}15\ \text{m}. Dalla -q: 0{,}20+0{,}05=0{,}25\ \text{m}.
Passo 2 — campi (entrambi verso +x in questo punto: il +q respinge, il -q attrae verso sé).
E_+=k\dfrac{q}{0{,}15^2}=8{,}99\times10^9\times\dfrac{2{,}0\times10^{-6}}{0{,}0225}=7{,}99\times10^5\ \text{N/C}. E_-=k\dfrac{q}{0{,}25^2}=8{,}99\times10^9\times\dfrac{2{,}0\times10^{-6}}{0{,}0625}=2{,}88\times10^5\ \text{N/C}.
Passo 3 — campo risultante. Il +q (più vicino) spinge verso +x, il -q tira verso -x:
E=E_+-E_-=7{,}99\times10^5-2{,}88\times10^5=5{,}11\times10^5\ \text{N/C (verso }+x).
7. Momento di dipolo
Esercizio. Calcolare il momento di dipolo del dipolo precedente (q=2{,}0\ \mu\text{C}, separazione d=2a=0{,}10\ \text{m}).
Il momento di dipolo è p=qd:
p=q\,d=2{,}0\times10^{-6}\times0{,}10=2{,}0\times10^{-7}\ \text{C·m}.
Diretto dalla carica negativa alla positiva.
8. Accelerazione di una carica nel campo
Esercizio. Un elettrone (q=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}, m=9{,}11\times10^{-31}\ \text{kg}) entra in un campo E=2{,}0\times10^4\ \text{N/C}. Quale accelerazione?
Passo 1 — forza. F=qE=1{,}6\times10^{-19}\times2{,}0\times10^4=3{,}2\times10^{-15}\ \text{N}.
Passo 2 — accelerazione.
a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{3{,}2\times10^{-15}}{9{,}11\times10^{-31}}=3{,}5\times10^{15}\ \text{m/s}^2.
Accelerazione enorme: l’elettrone è leggerissimo. (La forza è opposta a E perché la carica è negativa.)
9. Campo per sospendere una carica
Esercizio. Quale campo elettrico (modulo e verso) sospende in aria una gocciolina di massa m=3{,}0\times10^{-15}\ \text{kg} con carica q=2{,}0\times10^{-19}\ \text{C}?
Passo 1 — equilibrio. La forza elettrica deve bilanciare il peso: qE=mg.
Passo 2 — campo.
Il campo deve essere diretto verso l’alto (per una carica positiva): è il principio dell’esperimento di Millikan.
10. Campo di una distribuzione simmetrica
Esercizio. Quattro cariche +q (q=1{,}0\ \mu\text{C}) ai vertici di un quadrato di lato L=0{,}20\ \text{m}. Campo al centro.
Per simmetria, i campi delle quattro cariche uguali (tutte alla stessa distanza dal centro) si annullano a coppie opposte:
E_\text{centro}=0\ \text{N/C}.
Ogni carica è bilanciata da quella diagonalmente opposta: il campo risultante al centro è nullo. (Se una carica fosse diversa, resterebbe il suo contributo non bilanciato.)
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Campo carica puntiforme | $E=k |
| Forza nel campo | \vec{F}=q\vec{E} |
| Sovrapposizione | somma vettoriale dei campi |
| Momento di dipolo | p=qd |
| Campo nullo | dove i contributi si annullano |
Campo uscente da cariche +, entrante in cariche −. Unità: N/C = V/m.
Errori da evitare:
- dimenticare che il campo è vettoriale (sommare i moduli è sbagliato se non allineati);
- confondere il verso della forza su carica negativa (opposto a E);
- cercare il campo nullo nel punto sbagliato (tra le cariche se stesso segno, fuori se segni opposti).