I calori molari di un gas perfetto sono legati dalla relazione di Mayer:
c_p=c_v+R,\qquad \gamma=\dfrac{c_p}{c_v}.
Nella trasformazione adiabatica non c’è scambio di calore (Q=0): tutto il lavoro proviene dalla variazione di energia interna. Le leggi dell’adiabatica reversibile (gas perfetto):
PV^\gamma=\text{cost},\qquad TV^{\gamma-1}=\text{cost},\qquad TP^{(1-\gamma)/\gamma}=\text{cost}.
Il lavoro adiabatico: L=-\Delta U=-nc_v\Delta T=\dfrac{P_1V_1-P_2V_2}{\gamma-1}.
1. Relazione di Mayer
Esercizio. Un gas ha c_v=20{,}8\ \text{J/(mol·K)}. Calcolare c_p e \gamma.
Passo 1 — Mayer.
c_p=c_v+R=20{,}8+8{,}314=29{,}1\ \text{J/(mol·K)}.
Passo 2 — rapporto.
\gamma=\dfrac{c_p}{c_v}=\dfrac{29{,}1}{20{,}8}=1{,}40.
Gas biatomico.
2. Adiabatica: pressione finale
Esercizio. Un gas (\gamma=1{,}40) si comprime adiabaticamente da V_1=4{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3 a V_2=1{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3, partendo da P_1=1{,}0\times10^5\ \text{Pa}. Quale pressione finale?
Passo 1 — legge adiabatica P_1V_1^\gamma=P_2V_2^\gamma:
P_2=P_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^\gamma.
Passo 2 — rapporto dei volumi. V_1/V_2=4{,}0, elevato a 1{,}40:
4{,}0^{1{,}40}=e^{1{,}40\ln4}=e^{1{,}40\times1{,}386}=e^{1{,}941}=6{,}96.
Passo 3 — pressione finale.
P_2=1{,}0\times10^5\times6{,}96=6{,}96\times10^5\ \text{Pa}.
La compressione adiabatica alza la pressione più di una isoterma (perché scalda anche il gas).
3. Adiabatica: temperatura finale
Esercizio. Per la compressione precedente, se T_1=300\ \text{K}, quale temperatura finale?
Passo 1 — legge TV^{\gamma-1}= cost (\gamma-1=0{,}40):
T_2=T_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}=300\times4{,}0^{0{,}40}.
Passo 2 — calcolo dell’esponente. 4{,}0^{0{,}40}=e^{0{,}40\times1{,}386}=e^{0{,}554}=1{,}74.
Passo 3 — temperatura.
T_2=300\times1{,}74=522\ \text{K}.
La compressione adiabatica scalda il gas (da 300 a 522\ \text{K}): principio dei motori diesel.
4. Lavoro adiabatico da energia interna
Esercizio. 2{,}0\ \text{mol} di gas monoatomico (c_v=\dfrac{3}{2} R) si espandono adiabaticamente, raffreddandosi da 500\ \text{K} a 350\ \text{K}. Quale lavoro compie il gas?
Passo 1 — adiabatica: Q=0, quindi L=-\Delta U.
Passo 2 — variazione di energia interna.
\Delta U=nc_v\Delta T=2{,}0\times\dfrac{3}{2}\times8{,}314\times(350-500)=2{,}0\times12{,}47\times(-150)=-3741\ \text{J}.
Passo 3 — lavoro.
L=-\Delta U=-(-3741)=+3741\ \text{J}.
Positivo: il gas si espande compiendo lavoro a spese della sua energia interna (si raffredda).
5. Lavoro adiabatico dalla formula PV
Esercizio. Un gas (\gamma=1{,}40) si espande adiabaticamente da P_1=8{,}0\times10^5\ \text{Pa}, V_1=1{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3 a P_2=2{,}0\times10^5\ \text{Pa}, V_2=2{,}69\times10^{-3}\ \text{m}^3. Lavoro?
Si usa L=\dfrac{P_1V_1-P_2V_2}{\gamma-1}:
6. Confronto adiabatica vs isoterma (stessa compressione)
Esercizio. Un gas è compresso da V_1 a V_2=V_1/2. La pressione finale è maggiore in compressione adiabatica o isoterma?
Isoterma (PV= cost): P_2=P_1(V_1/V_2)=P_1\times2=2P_1.
Adiabatica (PV^\gamma= cost, \gamma=1{,}40): P_2=P_1(V_1/V_2)^{1{,}40}=P_1\times2^{1{,}40}=P_1\times2{,}64=2{,}64\,P_1.
L’adiabatica dà pressione maggiore (2{,}64\,P_1 vs 2\,P_1): comprimendo senza dissipare calore, il gas si scalda e la pressione sale di più. Nel piano PV l’adiabatica è più ripida dell’isoterma.
7. Calore in una trasformazione adiabatica
Esercizio. Quanto calore scambia un gas in una trasformazione adiabatica?
Per definizione, l’adiabatica è una trasformazione senza scambio di calore:
Q=0.
Tutto il lavoro proviene dalla variazione di energia interna (L=-\Delta U). È realizzata isolando termicamente il sistema o eseguendo la trasformazione molto rapidamente.
8. Gamma da una compressione adiabatica
Esercizio. Un gas compresso adiabaticamente da V_1 a V_2=V_1/3 vede la pressione passare da P_1 a 6{,}0\,P_1. Calcolare \gamma.
Passo 1 — legge adiabatica.
\dfrac{P_2}{P_1}=\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^\gamma\ \Rightarrow\ 6{,}0=3^\gamma.
Passo 2 — risolvere con i logaritmi.
\gamma=\dfrac{\ln6{,}0}{\ln3}=\dfrac{1{,}792}{1{,}099}=1{,}63.
Vicino a 5/3=1{,}67: gas quasi monoatomico.
9. Riscaldamento a P costante vs V costante
Esercizio. Per scaldare 1{,}0\ \text{mol} di gas biatomico di \Delta T=50\ \text{K}, quanto calore serve a volume costante e a pressione costante?
A volume costante (Q=nc_v\Delta T, c_v=\dfrac{5}{2} R):
Q_V=1{,}0\times\dfrac{5}{2}\times8{,}314\times50=1{,}0\times20{,}79\times50=1039\ \text{J}.
A pressione costante (Q=nc_p\Delta T, c_p=\dfrac{7}{2} R):
Q_P=1{,}0\times\dfrac{7}{2}\times8{,}314\times50=1{,}0\times29{,}1\times50=1455\ \text{J}.
A pressione costante serve più calore: parte va in lavoro di espansione (Q_P-Q_V=nR\Delta T=416\ \text{J}).
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Mayer | c_p=c_v+R |
| Adiabatica (PV) | PV^\gamma= cost |
| Adiabatica (TV) | TV^{\gamma-1}= cost |
| Adiabatica (TP) | TP^{(1-\gamma)/\gamma}= cost |
| Lavoro adiabatico | L=-nc_v\Delta T=\dfrac{P_1V_1-P_2V_2}{\gamma-1} |
Nell’adiabatica Q=0. L’adiabatica è più ripida dell’isoterma nel piano PV.
Errori da evitare:
- usare \gamma=1 (sarebbe l’isoterma) per le adiabatiche;
- applicare PV= cost (isoterma) a una trasformazione adiabatica (serve PV^\gamma);
- dimenticare che nell’adiabatica la temperatura cambia (a differenza dell’isoterma).