Il modello di Bohr dell’atomo di idrogeno quantizza le orbite elettroniche. I livelli energetici sono:
E_n=-\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2},\qquad n=1,2,3,\dots
I raggi delle orbite crescono con n^2: r_n=n^2 a_0, con a_0=0{,}529\times10^{-10}\ \text{m} (raggio di Bohr). Una transizione da n_i a n_f emette (o assorbe) un fotone di energia \Delta E=E_i-E_f, con lunghezza d’onda data dalla formula di Rydberg:
\dfrac{1}{\lambda}=R_H\!\left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right),\qquad R_H=1{,}097\times10^7\ \text{m}^{-1}.
1. Energia dei livelli
Esercizio. Quali energie dei primi tre livelli dell’idrogeno?
E_1=-\dfrac{13{,}6}{1^2}=-13{,}6\ \text{eV},\quad E_2=-\dfrac{13{,}6}{4}=-3{,}40\ \text{eV},\quad E_3=-\dfrac{13{,}6}{9}=-1{,}51\ \text{eV}.
L’energia è negativa (stato legato) e cresce verso zero all’aumentare di n.
2. Raggio delle orbite
Esercizio. Quale raggio dell’orbita n=3 (a_0=0{,}529\times10^{-10}\ \text{m})?
r_3=n^2 a_0=9\times0{,}529\times10^{-10}=4{,}76\times10^{-10}\ \text{m}\approx0{,}48\ \text{nm}.
3. Energia di una transizione
Esercizio. Quale energia del fotone emesso nella transizione n=3\to n=2?
\Delta E=E_3-E_2=-1{,}51-(-3{,}40)=1{,}89\ \text{eV}.
4. Lunghezza d’onda della transizione (riga H-alfa)
Esercizio. Quale lunghezza d’onda del fotone della transizione 3\to2 (\Delta E=1{,}89\ \text{eV})?
Da \lambda=hc/\Delta E, con hc=1240\ \text{eV·nm}:
\lambda=\dfrac{1240}{1{,}89}=656\ \text{nm}.
È la riga rossa H-α della serie di Balmer (visibile).
5. Serie di Balmer con Rydberg
Esercizio. Calcolare la stessa riga (n_i=3\to n_f=2) con la formula di Rydberg.
\lambda=\dfrac{1}{1{,}524\times10^6}=6{,}56\times10^{-7}\ \text{m}=656\ \text{nm}.\ \checkmark
Coerente con il calcolo energetico.
6. Serie di Lyman
Esercizio. Quale lunghezza d’onda della transizione n=2\to n=1 (prima riga di Lyman)?
\dfrac{1}{\lambda}=R_H\!\left(\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}\right)=1{,}097\times10^7\times0{,}75=8{,}228\times10^6\ \text{m}^{-1}.
\lambda=\dfrac{1}{8{,}228\times10^6}=1{,}22\times10^{-7}\ \text{m}=122\ \text{nm}.
La serie di Lyman (n_f=1) cade nell’ultravioletto.
7. Limite di una serie spettrale
Esercizio. Quale lunghezza d’onda limite della serie di Balmer (transizione da n_i=\infty\to n_f=2)?
\dfrac{1}{\lambda}=R_H\!\left(\dfrac{1}{2^2}-0\right)=1{,}097\times10^7\times0{,}25=2{,}743\times10^6\ \text{m}^{-1}.
\lambda=\dfrac{1}{2{,}743\times10^6}=3{,}65\times10^{-7}\ \text{m}=365\ \text{nm}.
È la lunghezza d’onda più corta della serie (limite di Balmer).
8. Energia di ionizzazione
Esercizio. Quale energia serve per ionizzare un atomo di idrogeno dallo stato fondamentale?
La ionizzazione porta l’elettrone da n=1 a n=\infty (E_\infty=0):
E_\text{ion}=E_\infty-E_1=0-(-13{,}6)=13{,}6\ \text{eV}.
9. Ionizzazione da uno stato eccitato
Esercizio. Quale energia per ionizzare l’idrogeno dallo stato n=2?
E_\text{ion}=0-E_2=0-(-3{,}40)=3{,}40\ \text{eV}.
Un atomo eccitato si ionizza più facilmente: serve solo un quarto dell’energia dello stato fondamentale.
10. Atomi idrogenoidi
Esercizio. Quale energia del livello fondamentale dello ione \text{He}^+ (un solo elettrone, Z=2)?
Per atomi idrogenoidi i livelli scalano con Z^2: E_n=-13{,}6\,Z^2/n^2:
E_1=-13{,}6\times\dfrac{2^2}{1^2}=-13{,}6\times4=-54{,}4\ \text{eV}.
L’energia di ionizzazione di \text{He}^+ è quindi 54{,}4\ \text{eV}, quattro volte quella dell’idrogeno.
11. Frequenza di una riga spettrale
Esercizio. La riga H-alfa ha lunghezza d’onda \lambda=656\ \text{nm}. Calcolare la frequenza del fotone.
La frequenza si ottiene da c=\lambda f:
La stessa riga può essere descritta come lunghezza d’onda, frequenza o energia: sono tre modi equivalenti di indicare lo stesso salto quantico, collegati da E=hf=hc/\lambda.
12. Assorbimento da stato fondamentale
Esercizio. Un atomo di idrogeno nello stato fondamentale assorbe un fotone da 10{,}2\ \text{eV}. A quale livello arriva l’elettrone?
Lo stato iniziale è n=1, quindi E_1=-13{,}6\ \text{eV}. Dopo l’assorbimento:
Cerchiamo il livello con energia -3{,}4\ \text{eV}:
Il fotone eccita l’atomo da n=1 a n=2. Se l’energia del fotone non coincide con una differenza tra livelli permessi, l’assorbimento risonante non avviene nel modello ideale.
13. Riga di uno ione idrogenoide
Esercizio. Calcolare la lunghezza d’onda della transizione n_i=2\to n_f=1 nello ione \text{He}^+.
Per un sistema idrogenoide la formula di Rydberg contiene il fattore Z^2:
Con Z=2, n_f=1, n_i=2:
La riga corrispondente dell’idrogeno era a 122\ \text{nm}: lo ione \text{He}^+, avendo Z=2, produce transizioni quattro volte più energetiche e lunghezze d’onda circa quattro volte più corte.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Livelli energetici (H) | E_n=-13{,}6/n^2\ \text{eV} |
| Raggio orbite | r_n=n^2 a_0 |
| Energia transizione | \Delta E=E_i-E_f |
| Frequenza fotone | f=c/\lambda=\Delta E/h |
| Assorbimento | E_f=E_i+h f |
| Formula di Rydberg | 1/\lambda=R_H(1/n_f^2-1/n_i^2) |
| Energia di ionizzazione (da n) | E_\text{ion}=-E_n |
| Atomi idrogenoidi | E_n=-13{,}6\,Z^2/n^2, 1/\lambda\propto Z^2 |
Errori da evitare:
- dimenticare il segno negativo dei livelli (stati legati): l’energia cresce verso zero al crescere di n;
- invertire n_i e n_f nella formula di Rydberg (n_f<n_i per emissione);
- confondere le serie: Lyman n_f=1 (UV), Balmer n_f=2 (visibile), Paschen n_f=3 (IR);
- dimenticare il fattore Z^2 negli atomi idrogenoidi;
- trattare l’assorbimento come continuo: nel modello di Bohr il fotone deve avere energia pari a un salto tra livelli;
- usare il modello di Bohr per atomi multi-elettrone (vale solo per H e ioni a un elettrone).