Il principio di Archimede stabilisce che un corpo immerso (totalmente o parzialmente) in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del fluido spostato:
F_A=\rho_\text{fl}\,g\,V_\text{imm}.
Un corpo affonda se \rho_\text{corpo}>\rho_\text{fl}, galleggia se \rho_\text{corpo}<\rho_\text{fl}. In galleggiamento la spinta uguaglia il peso, da cui la frazione immersa V_\text{imm}/V=\rho_\text{corpo}/\rho_\text{fl}. La stabilità di un corpo galleggiante dipende dalla posizione del metacentro rispetto al baricentro.
1. Spinta su un corpo totalmente immerso
Esercizio. Un blocco di alluminio (\rho=2700\ \text{kg/m}^3, V=2{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3) è totalmente immerso in acqua (\rho_a=1000\ \text{kg/m}^3). Quale spinta riceve?
F_A=\rho_a g V=1000\times9{,}8\times2{,}0\times10^{-3}=19{,}6\ \text{N}.
La spinta dipende solo dal volume immerso e dalla densità del fluido, non dal materiale del corpo.
2. Peso apparente
Esercizio. Quale peso apparente ha il blocco precedente immerso in acqua?
Passo 1 — peso reale. P=\rho_\text{Al}gV=2700\times9{,}8\times2{,}0\times10^{-3}=52{,}9\ \text{N}.
Passo 2 — peso apparente (peso meno spinta):
P_\text{app}=P-F_A=52{,}9-19{,}6=33{,}3\ \text{N}.
3. Bilancia idrostatica — densità incognita
Esercizio. Un oggetto pesa P=7{,}80\ \text{N} in aria e P_\text{app}=6{,}80\ \text{N} immerso in acqua. Quale densità?
Passo 1 — spinta = differenza di peso: F_A=7{,}80-6{,}80=1{,}00\ \text{N}.
Passo 2 — volume (= acqua spostata): V=F_A/(\rho_a g)=1{,}00/(1000\times9{,}8)=1{,}02\times10^{-4}\ \text{m}^3.
Passo 3 — massa e densità. m=P/g=7{,}80/9{,}8=0{,}796\ \text{kg}:
\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{0{,}796}{1{,}02\times10^{-4}}=7800\ \text{kg/m}^3.
(È acciaio.)
4. Frazione immersa in galleggiamento
Esercizio. Un blocco di ghiaccio (\rho=917\ \text{kg/m}^3) galleggia in acqua di mare (\rho=1025\ \text{kg/m}^3). Quale frazione resta sommersa?
All’equilibrio \rho_\text{fl}gV_\text{imm}=\rho_c gV, da cui V_\text{imm}/V=\rho_c/\rho_\text{fl}:
\dfrac{V_\text{imm}}{V}=\dfrac{917}{1025}=0{,}89.
L’89\% resta sott’acqua: emerge solo l’11\% (la classica “punta dell’iceberg”).
5. Densità di un corpo galleggiante
Esercizio. Un legno galleggia con il 60\% del volume immerso in acqua dolce (\rho=1000\ \text{kg/m}^3). Quale densità?
Dalla condizione di galleggiamento \rho_c=\dfrac{V_\text{imm}}{V}\rho_\text{fl}:
\rho_\text{legno}=0{,}60\times1000=600\ \text{kg/m}^3.
6. Corpo a cavallo di due fluidi
Esercizio. Un cubo (\rho=900\ \text{kg/m}^3, lato \ell=0{,}10\ \text{m}) galleggia all’interfaccia tra olio (\rho_o=850\ \text{kg/m}^3) sopra e acqua (\rho_a=1000\ \text{kg/m}^3) sotto. Quale frazione del cubo è immersa nell’acqua?
Detta x la frazione di altezza immersa nell’acqua, 1-x è quella nell’olio. La spinta totale eguaglia il peso (A = area di base, si semplifica):
\rho_o(1-x)+\rho_a x=\rho_c.
850(1-x)+1000x=900\ \Rightarrow\ 850+150x=900\ \Rightarrow\ x=\dfrac{50}{150}=0{,}33.
Il 33\% dell’altezza del cubo pesca nell’acqua, il 67\% nell’olio.
7. Carico massimo di una zattera
Esercizio. Una zattera di legno (\rho=600\ \text{kg/m}^3) ha volume V=0{,}50\ \text{m}^3. Quale massa massima può trasportare senza affondare in acqua dolce (\rho_a=1000\ \text{kg/m}^3)?
Al limite la zattera è totalmente immersa: la spinta massima eguaglia peso zattera + carico.
Passo 1 — spinta massima. F_A=\rho_a gV=1000\times9{,}8\times0{,}50=4900\ \text{N}.
Passo 2 — peso della zattera. P_z=\rho_\text{legno}gV=600\times9{,}8\times0{,}50=2940\ \text{N}.
Passo 3 — carico massimo. P_\text{car}=F_A-P_z=4900-2940=1960\ \text{N}, cioè m=P_\text{car}/g=200\ \text{kg}.
8. Pallone aerostatico
Esercizio. Un pallone di volume V=1500\ \text{m}^3 è riempito di elio (\rho_\text{He}=0{,}18\ \text{kg/m}^3) in aria (\rho_\text{aria}=1{,}29\ \text{kg/m}^3). Quale massa (involucro + carico) può sollevare?
La spinta dell’aria deve reggere il peso dell’elio più il resto.
Passo 1 — spinta dell’aria. F_A=\rho_\text{aria}gV=1{,}29\times9{,}8\times1500=18\,963\ \text{N}.
Passo 2 — peso dell’elio. P_\text{He}=\rho_\text{He}gV=0{,}18\times9{,}8\times1500=2646\ \text{N}.
Passo 3 — portata utile. P_\text{utile}=F_A-P_\text{He}=18\,963-2646=16\,317\ \text{N}, cioè m\approx1665\ \text{kg}.
9. Densimetro (areometro)
Esercizio. Un densimetro di massa m=20\ \text{g} ha uno stelo cilindrico di sezione A=0{,}40\ \text{cm}^2. Posto in acqua (\rho=1000\ \text{kg/m}^3) affonda fino a una tacca; in un liquido più denso (\rho'=1100\ \text{kg/m}^3) di quanto risale lo stelo?
Il peso è costante, quindi la massa di fluido spostata è costante: \rho V=\rho' V'.
Passo 1 — volume immerso in acqua. V=m/\rho=0{,}020/1000=2{,}0\times10^{-5}\ \text{m}^3.
Passo 2 — volume immerso nel liquido denso. V'=m/\rho'=0{,}020/1100=1{,}818\times10^{-5}\ \text{m}^3.
Passo 3 — risalita dello stelo.
\Delta\ell=\dfrac{V-V'}{A}=\dfrac{(2{,}0-1{,}818)\times10^{-5}}{0{,}40\times10^{-4}}=0{,}045\ \text{m}=4{,}5\ \text{cm}.
Nel liquido più denso il densimetro emerge di più: la scala letta al menisco dà direttamente la densità.
10. Stabilità del galleggiamento — altezza metacentrica
Esercizio. Una chiatta a sezione rettangolare (b=4{,}0\ \text{m}, lunghezza \ell=10\ \text{m}) ha pescaggio T=1{,}0\ \text{m} e baricentro G a 0{,}80\ \text{m} sul fondo. È stabile?
La stabilità richiede \overline{GM}>0, con \overline{BM}=I/V_\text{imm} (I = momento d’inerzia della figura di galleggiamento).
Passo 1 — centro di spinta B a metà pescaggio: \overline{KB}=T/2=0{,}50\ \text{m}.
Passo 2 — momento d’inerzia della sezione di galleggiamento (\ell\times b rispetto all’asse longitudinale):
I=\dfrac{\ell\,b^3}{12}=\dfrac{10\times4{,}0^3}{12}=53{,}3\ \text{m}^4.
Passo 3 — volume immerso. V=b\,\ell\,T=40\ \text{m}^3.
Passo 4 — altezza metacentrica.
\overline{GM}=1{,}03\ \text{m}>0: la chiatta è stabile (a un’inclinazione nasce una coppia raddrizzante).
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Spinta di Archimede | F_A=\rho_\text{fl}\,g\,V_\text{imm} |
| Peso apparente | P_\text{app}=P-F_A |
| Frazione immersa | V_\text{imm}/V=\rho_c/\rho_\text{fl} |
| Corpo tra due fluidi | \rho_1(1-x)+\rho_2 x=\rho_c |
| Galleggiante aerostatico | F_A=P_\text{gas}+P_\text{utile} |
| Altezza metacentrica | \overline{GM}=\overline{KB}+I/V-\overline{KG} |
Errori da evitare:
- usare il volume totale invece del volume immerso nella spinta (per un corpo galleggiante sono diversi);
- usare la densità del corpo invece di quella del fluido nella spinta di Archimede;
- dimenticare il peso del gas (elio/aria calda) nel calcolo della portata di un aerostato;
- concludere che un corpo con baricentro alto è instabile senza calcolare il metacentro: conta \overline{GM}, non la posizione assoluta di G.