L’apertura numerica misura quanto è ampio il cono di raggi che un sistema ottico può accettare, emettere o focalizzare. È una grandezza adimensionale: non descrive una dimensione fisica dell’elemento ottico, ma combina indice di rifrazione e angolo massimo utile.
In forma generale si scrive:
dove n è l’indice di rifrazione del mezzo in cui si trova il cono ottico e \alpha è il semiangolo massimo rispetto all’asse del sistema. L’angolo va quindi misurato rispetto all’asse ottico, non rispetto alla superficie di ingresso.
Nelle fibre ottiche
In una fibra ottica l’apertura numerica determina il cono di accettazione dei raggi che possono essere guidati per riflessione totale interna. Se n_0 è l’indice del mezzo esterno e \theta_{\max} il semiangolo massimo di ingresso:
Per una fibra step-index ideale, con nucleo di indice n_1 e mantello di indice n_2<n_1, vale:
Se la fibra è immersa in aria, n_0\simeq 1 e quindi NA\simeq\sin\theta_{\max}. In un mezzo esterno diverso dall’aria, invece, l’angolo di accettazione cambia secondo:
Un’apertura numerica elevata facilita l’accoppiamento della luce nella fibra, ma nelle fibre multimodali tende anche ad aumentare il numero di modi guidati e quindi il rischio di dispersione modale.
La connessione con il numero normalizzato della fibra è:
dove a è il raggio del nucleo e \lambda la lunghezza d’onda nel vuoto. Per una fibra step-index il funzionamento monomodale richiede, in prima approssimazione:
Nei sistemi di imaging
In obiettivi, microscopi e sistemi di focalizzazione, l’apertura numerica governa risoluzione e luminosità. A parità di lunghezza d’onda, un valore maggiore permette di raccogliere raggi più inclinati e distinguere dettagli più piccoli. Una stima classica del limite di risoluzione laterale è:
Il vantaggio sulla risoluzione ha però un costo: aperture numeriche alte riducono la profondità di campo, richiedono allineamenti più accurati e rendono più sensibili le aberrazioni.
| Contesto | Formula tipica | Lettura operativa |
|---|---|---|
| ottica generale | \displaystyle NA=n\sin\alpha | ampiezza del cono utile |
| fibra step-index | \displaystyle NA=\sqrt{n_1^2-n_2^2} | capacità di accettare raggi guidati |
| fibra monomodale | \displaystyle V=\dfrac{2\pi a}{\lambda}NA | numero di modi ammessi |
| imaging | \displaystyle d\approx\dfrac{0{,}61\lambda}{NA} | limite di risoluzione laterale |
Errori comuni: confondere apertura numerica con diametro dell’obiettivo, misurare l’angolo rispetto alla superficie invece che all’asse, oppure assumere che un valore più alto sia sempre migliore. In una fibra serve bilanciare accoppiamento, numero di modi e dispersione; in un sistema di imaging bisogna bilanciare risoluzione, profondità di campo e aberrazioni.
Vedi anche: Indice di rifrazione, Legge di Snell, Riflessione totale interna.