Il suono è un’onda longitudinale di pressione. La sua velocità dipende dalle proprietà elastiche e dalla densità del mezzo: v=\sqrt{B/\rho} in gas e liquidi (con B modulo di compressibilità), v=\sqrt{E/\rho} nei solidi. Nell’aria la velocità dipende dalla temperatura secondo v=331\sqrt{T/273} (con T in kelvin). L’intensità I (potenza per unità di area) si esprime in decibel rispetto alla soglia di udibilità I_0=10^{-12}\ \text{W/m}^2:
L=10\log_{10}\dfrac{I}{I_0}\ \text{[dB]}.
1. Velocità del suono in aria a una data temperatura
Esercizio. Quale velocità del suono in aria a T=25\ °\text{C}?
Convertendo in kelvin (T=298\ \text{K}) e usando v=331\sqrt{T/273}:
v=331\sqrt{\dfrac{298}{273}}=331\sqrt{1{,}0916}=331\times1{,}0448=346\ \text{m/s}.
A 0\ °\text{C} vale 331\ \text{m/s}, a 20\ °\text{C} circa 343\ \text{m/s}.
2. Velocità del suono in un liquido
Esercizio. Quale velocità del suono nell’acqua (B=2{,}2\times10^9\ \text{Pa}, \rho=1000\ \text{kg/m}^3)?
v=\sqrt{\dfrac{B}{\rho}}=\sqrt{\dfrac{2{,}2\times10^9}{1000}}=\sqrt{2{,}2\times10^6}=1483\ \text{m/s}.
Nell’acqua il suono viaggia circa 4 volte più veloce che in aria.
3. Velocità del suono in un solido
Esercizio. Quale velocità del suono nell’acciaio (E=2{,}0\times10^{11}\ \text{Pa}, \rho=7800\ \text{kg/m}^3)?
v=\sqrt{\dfrac{E}{\rho}}=\sqrt{\dfrac{2{,}0\times10^{11}}{7800}}=\sqrt{2{,}56\times10^7}=5060\ \text{m/s}.
Nei solidi rigidi il suono è ancora più veloce (modulo elastico elevato).
4. Distanza dal tuono
Esercizio. Tra il lampo e il tuono passano t=4{,}0\ \text{s} (v_\text{suono}=343\ \text{m/s}, luce istantanea). A quale distanza il fulmine?
d=v\,t=343\times4{,}0=1372\ \text{m}\approx1{,}4\ \text{km}.
Regola pratica: \approx3\ \text{s} per chilometro.
5. Eco e profondità (sonar)
Esercizio. Un sonar emette un impulso e riceve l’eco dal fondo dopo t=0{,}80\ \text{s} (v_\text{acqua}=1500\ \text{m/s}). Quale profondità?
Il suono percorre andata e ritorno (2d=vt):
d=\dfrac{v\,t}{2}=\dfrac{1500\times0{,}80}{2}=600\ \text{m}.
6. Intensità a una distanza dalla sorgente
Esercizio. Una sorgente puntiforme emette P=2{,}0\ \text{W} di potenza sonora. Quale intensità a r=10\ \text{m}?
L’intensità si distribuisce su una sfera di area 4\pi r^2:
I=\dfrac{P}{4\pi r^2}=\dfrac{2{,}0}{4\pi\times10^2}=\dfrac{2{,}0}{1257}=1{,}59\times10^{-3}\ \text{W/m}^2.
L’intensità cala con 1/r^2.
7. Livello sonoro in decibel
Esercizio. Quale livello in dB corrisponde all’intensità precedente (I=1{,}59\times10^{-3}\ \text{W/m}^2, I_0=10^{-12}\ \text{W/m}^2)?
L=10\log_{10}\dfrac{I}{I_0}=10\log_{10}\dfrac{1{,}59\times10^{-3}}{10^{-12}}=10\log_{10}(1{,}59\times10^9)=10\times9{,}20=92\ \text{dB}.
8. Variazione di livello con la distanza
Esercizio. Allontanandosi da una sorgente puntiforme da r_1=2{,}0\ \text{m} a r_2=8{,}0\ \text{m}, di quanti dB cala il livello sonoro?
L’intensità va come 1/r^2, quindi \Delta L=10\log_{10}(I_2/I_1)=20\log_{10}(r_1/r_2):
\Delta L=20\log_{10}\dfrac{2{,}0}{8{,}0}=20\log_{10}(0{,}25)=20\times(-0{,}602)=-12{,}0\ \text{dB}.
Quadruplicando la distanza il livello cala di 12\ \text{dB} (raddoppiando, di 6\ \text{dB}).
9. Somma di più sorgenti
Esercizio. Dieci macchinari identici, ciascuno da 70\ \text{dB}, funzionano insieme. Quale livello totale?
I decibel non si sommano direttamente: si sommano le intensità. Per n sorgenti uguali L_\text{tot}=L+10\log_{10}n:
L_\text{tot}=70+10\log_{10}(10)=70+10=80\ \text{dB}.
Dieci sorgenti uguali aggiungono solo 10\ \text{dB}, non moltiplicano per dieci il livello.
10. Battimenti
Esercizio. Due diapason suonano a f_1=440\ \text{Hz} e f_2=444\ \text{Hz}. Quale frequenza di battimento si ode?
La frequenza di battimento è la differenza dei valori assoluti:
f_b=|f_1-f_2|=|440-444|=4\ \text{Hz}.
Si odono 4 rinforzi (pulsazioni) al secondo. È il metodo per accordare strumenti: si annullano i battimenti.
11. Intensità da livello sonoro
Esercizio. Calcolare l’intensità corrispondente a un livello L=60\ \text{dB}.
La definizione è:
Quindi:
Con I_0=10^{-12}\ \text{W/m}^2:
Un aumento di 10\ \text{dB} corrisponde a un’intensità dieci volte maggiore.
12. Somma di due livelli diversi
Esercizio. Due sorgenti producono livelli 70\ \text{dB} e 74\ \text{dB} nello stesso punto. Qual è il livello totale?
Si sommano le intensità, non i decibel. Poniamo I_0 come riferimento:
Il livello totale è:
Fattorizziamo 10^7:
Quindi:
Il totale è poco sopra il livello più alto, non la somma aritmetica 144\ \text{dB}.
13. Lunghezza d’onda del suono
Esercizio. Un tono di frequenza f=440\ \text{Hz} si propaga in aria a v=343\ \text{m/s}. Calcolare la lunghezza d’onda.
La relazione d’onda è:
Quindi:
La nota La a 440\ \text{Hz} ha lunghezza d’onda dell’ordine del metro: questo spiega perché gli strumenti musicali e le cavità acustiche hanno dimensioni confrontabili con decine di centimetri.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Suono in gas/liquidi | v=\sqrt{B/\rho} |
| Suono nei solidi | v=\sqrt{E/\rho} |
| Aria vs temperatura | v=331\sqrt{T/273} |
| Intensità (sorgente puntiforme) | I=P/(4\pi r^2) |
| Livello sonoro | L=10\log_{10}(I/I_0) |
| Battimenti | f_b=\lvert f_1-f_2\rvert |
| Relazione d’onda | v=\lambda f |
Errori da evitare:
- usare la temperatura in gradi Celsius invece che in kelvin nella formula v=331\sqrt{T/273};
- sommare i decibel aritmeticamente: si sommano le intensità, non i livelli (n sorgenti uguali → +10\log_{10}n);
- dimenticare il fattore 2 (andata e ritorno) negli eco/sonar;
- confondere intensità (\propto1/r^2) e livello in dB (che cala di 6\ \text{dB} a ogni raddoppio di distanza).
- dimenticare che 10\ \text{dB} corrispondono a un fattore 10 in intensità, non a un incremento lineare.