Quando in un circuito si apre o si chiude un interruttore, le grandezze non saltano istantaneamente al nuovo valore: condensatori e induttori impongono una transizione graduale governata dalla costante di tempo. Questa scheda raccoglie i transitori tipici del primo ordine (RC, RL) e introduce il secondo ordine (RLC).
Due vincoli di continuità da ricordare sempre:
- la tensione sul condensatore non può variare bruscamente: v_C(0^+)=v_C(0^-);
- la corrente nell’induttore non può variare bruscamente: i_L(0^+)=i_L(0^-).
1. Costante di tempo di un circuito RC
Esercizio. Un resistore R=10\ \text{k}\Omega in serie a un condensatore C=100\ \mu\text{F}. Calcolare la costante di tempo.
\tau=RC=10\,000\times100\times10^{-6}=1{,}0\ \text{s}.
In una costante di tempo il transitorio percorre circa il 63\% della sua escursione totale; dopo 5\tau si considera concluso (>99\%).
2. Carica del condensatore
Esercizio. Il circuito RC del punto 1, inizialmente scarico, viene collegato a V=12\ \text{V} chiudendo l’interruttore a t=0. Trovare v_C(t) e il valore a t=1{,}0\ \text{s}.
Passo 1 — legge di carica. Partendo da condensatore scarico, v_C(0^+)=0, e a regime v_C(\infty)=V:
v_C(t)=V\left(1-e^{-t/\tau}\right).
Passo 2 — valutazione a t=\tau=1{,}0\ \text{s}:
v_C(\tau)=12\left(1-e^{-1}\right)=12\,(1-0{,}368)=12\times0{,}632=7{,}6\ \text{V}.
Coerente con la regola del 63\%: dopo una costante di tempo il condensatore è caricato al 63\% di 12\ \text{V}.
3. Corrente di carica e suo decadimento
Esercizio. Nello stesso circuito, trovare la corrente iniziale e la corrente a t=2\tau.
Passo 1 — corrente. La corrente carica il condensatore e decade esponenzialmente:
i(t)=\dfrac{V}{R}\,e^{-t/\tau}.
Passo 2 — istante iniziale (t=0^+, condensatore come corto circuito):
i(0^+)=\dfrac{V}{R}=\dfrac{12}{10\,000}=1{,}2\ \text{mA}.
Passo 3 — a t=2\tau:
i(2\tau)=1{,}2\times e^{-2}=1{,}2\times0{,}135=0{,}16\ \text{mA}.
La corrente parte massima e tende a zero: a regime il condensatore è carico e non passa più corrente.
4. Scarica del condensatore
Esercizio. Il condensatore del punto 2 è carico a V_0=12\ \text{V}. A t=0 viene staccato il generatore e chiuso su R=10\ \text{k}\Omega. Trovare v_C a t=3\ \text{s}.
Passo 1 — legge di scarica (regime finale nullo):
v_C(t)=V_0\,e^{-t/\tau}.
Passo 2 — a t=3\tau=3{,}0\ \text{s}:
v_C(3\tau)=12\times e^{-3}=12\times0{,}0498=0{,}60\ \text{V}.
Dopo tre costanti di tempo resta solo il 5\% della tensione iniziale.
5. Costante di tempo di un circuito RL
Esercizio. Un induttore L=0{,}50\ \text{H} in serie a R=100\ \Omega. Calcolare la costante di tempo.
\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{0{,}50}{100}=5{,}0\times10^{-3}\ \text{s}=5{,}0\ \text{ms}.
Attenzione alla differenza con l’RC: per l’induttore la costante è L/R, non LR.
6. Crescita della corrente in un circuito RL
Esercizio. Il circuito RL del punto 5 viene alimentato a V=10\ \text{V} a t=0. Trovare la corrente a regime e quella a t=\tau.
Passo 1 — corrente a regime (induttore come corto circuito):
i(\infty)=\dfrac{V}{R}=\dfrac{10}{100}=0{,}10\ \text{A}.
Passo 2 — legge di crescita. Con i(0^+)=0:
i(t)=\dfrac{V}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right).
Passo 3 — a t=\tau:
i(\tau)=0{,}10\,(1-e^{-1})=0{,}10\times0{,}632=63\ \text{mA}.
L’induttore si oppone alla variazione di corrente: la salita non è immediata.
7. Energia immagazzinata a regime
Esercizio. Nel circuito RL precedente, a regime, quanta energia è immagazzinata nell’induttore?
W_L=\dfrac{1}{2} L\,i(\infty)^2=\dfrac{1}{2}\times0{,}50\times(0{,}10)^2=2{,}5\times10^{-3}\ \text{J}=2{,}5\ \text{mJ}.
L’energia cresce con il quadrato della corrente: è ciò che alimenta l’extracorrente di apertura quando si stacca un induttore.
8. Circuito RLC: regime di smorzamento
Esercizio. Un circuito serie RLC con R=200\ \Omega, L=10\ \text{mH}, C=1{,}0\ \mu\text{F}. Stabilire se la risposta è sovrasmorzata, criticamente smorzata o sottosmorzata.
Passo 1 — pulsazione naturale e smorzamento.
\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{10\times10^{-3}\times1{,}0\times10^{-6}}}=\dfrac{1}{\sqrt{10^{-8}}}=1{,}0\times10^{4}\ \text{rad/s}.
\alpha=\dfrac{R}{2L}=\dfrac{200}{2\times10\times10^{-3}}=1{,}0\times10^{4}\ \text{s}^{-1}.
Passo 2 — confronto. Il regime dipende dal rapporto fra \alpha e \omega_0:
- \alpha>\omega_0 → sovrasmorzato (due esponenziali reali);
- \alpha=\omega_0 → criticamente smorzato;
- \alpha<\omega_0 → sottosmorzato (oscillazioni smorzate).
Qui \alpha=\omega_0=1{,}0\times10^4: il circuito è criticamente smorzato, la transizione più rapida possibile senza oscillare.
9. Resistenza critica di un RLC
Esercizio. Per lo stesso L=10\ \text{mH} e C=1{,}0\ \mu\text{F}, quale valore di R rende il circuito sottosmorzato (oscillante)?
La condizione critica \alpha=\omega_0 dà la resistenza critica:
R_c=2\sqrt{\dfrac{L}{C}}=2\sqrt{\dfrac{10\times10^{-3}}{1{,}0\times10^{-6}}}=2\sqrt{10^{4}}=2\times100=200\ \Omega.
Per R<200\ \Omega il circuito oscilla (sottosmorzato); per R>200\ \Omega non oscilla (sovrasmorzato). I 200\ \Omega del punto 8 sono esattamente il confine.
Errori comuni
- Confondere RC con L/R. Per l’RC la costante è il prodotto RC; per l’RL è il rapporto L/R.
- Far saltare v_C o i_L. Sono le due grandezze continue: il loro valore a t=0^+ è quello a t=0^-, mai un salto.
- Dimenticare il regime finale. Le leggi e^{-t/\tau} valgono per la differenza dal valore finale: in carica si scrive V(1-e^{-t/\tau}), in scarica V_0\,e^{-t/\tau}.
- Sbagliare lo stato dei componenti a regime DC. A regime il condensatore è un circuito aperto (corrente nulla), l’induttore un corto circuito (tensione nulla).