I teoremi delle reti semplificano l’analisi dei circuiti lineari riducendo una rete complessa, vista da due morsetti, a un equivalente elementare:
- teorema di Thévenin: qualunque rete lineare vista da due morsetti equivale a un generatore di tensione V_{th} in serie a una resistenza R_{th};
- teorema di Norton: la stessa rete equivale a un generatore di corrente I_N in parallelo a R_N = R_{th}.
Le due forme sono interscambiabili: V_{th} = R_{th}\, I_N. Per trovare R_{th} si spengono i generatori indipendenti (tensione → corto, corrente → aperto) e si calcola la resistenza ai morsetti.
1. Tensione di Thévenin a vuoto
Esercizio. Una rete ha un generatore V=12\ \text{V} in serie a R_1=4\ \Omega, e ai morsetti d’uscita è collegato (verso il nodo di riferimento) R_2=8\ \Omega. Trovare la tensione di Thévenin V_{th} vista ai capi di R_2.
La V_{th} è la tensione a vuoto (morsetti aperti): tutta la corrente scorre in R_1 e R_2 in serie, e V_{th} è la tensione su R_2 (partitore):
V_{th}=V\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=12\times\dfrac{8}{4+8}=12\times\dfrac{8}{12}=8{,}0\ \text{V}.
2. Resistenza di Thévenin
Esercizio. Per la stessa rete, trovare R_{th}.
Passo 1 — spegnere il generatore di tensione (sostituirlo con un corto circuito).
Passo 2 — calcolare la resistenza ai morsetti. Con il generatore in corto, R_1 e R_2 si vedono in parallelo dai morsetti:
R_{th}=\dfrac{R_1 R_2}{R_1+R_2}=\dfrac{4\times8}{4+8}=\dfrac{32}{12}=2{,}67\ \Omega.
3. Equivalente di Norton
Esercizio. Ricavare l’equivalente di Norton (I_N, R_N) della rete precedente.
Passo 1 — resistenza di Norton. Coincide con quella di Thévenin: R_N=R_{th}=2{,}67\ \Omega.
Passo 2 — corrente di Norton (corrente di corto circuito ai morsetti):
I_N=\dfrac{V_{th}}{R_{th}}=\dfrac{8{,}0}{2{,}67}=3{,}0\ \text{A}.
Verifica: V_{th}=R_{th}I_N=2{,}67\times3{,}0=8{,}0\ \text{V}. ✓
4. Corrente su un carico con Thévenin
Esercizio. Al circuito equivalente (V_{th}=8{,}0\ \text{V}, R_{th}=2{,}67\ \Omega) si collega un carico R_L=5{,}33\ \Omega. Calcolare la corrente nel carico.
Il carico è in serie all’equivalente di Thévenin:
I_L=\dfrac{V_{th}}{R_{th}+R_L}=\dfrac{8{,}0}{2{,}67+5{,}33}=\dfrac{8{,}0}{8{,}0}=1{,}0\ \text{A}.
Il vantaggio del teorema: calcolare la corrente per diversi carichi richiede solo di cambiare R_L, senza rianalizzare l’intera rete.
5. Sovrapposizione degli effetti
Il principio di sovrapposizione vale per le reti lineari: l’effetto (tensione o corrente) prodotto da più generatori è la somma degli effetti di ciascun generatore agente da solo, con gli altri spenti.
Esercizio. Due generatori V_1=10\ \text{V} e V_2=4\ \text{V} agiscono su una resistenza R=2\ \Omega comune; il primo produce da solo I_1=5{,}0\ \text{A}, il secondo I_2=2{,}0\ \text{A} (verso opposto). Corrente totale in R?
Sommando algebricamente (versi opposti):
I=I_1-I_2=5{,}0-2{,}0=3{,}0\ \text{A}.
6. Resistenza equivalente con due generatori
Esercizio. Trovare R_{th} di una rete con un generatore di tensione e uno di corrente, vista da due morsetti, con R_1=6\ \Omega in serie e R_2=3\ \Omega in parallelo all’uscita.
Passo 1 — spegnere i generatori. Il generatore di tensione diventa un corto, quello di corrente un aperto.
Passo 2 — resistenza ai morsetti. Spento il generatore di corrente (aperto), R_1 non porta corrente verso i morsetti e resta solo R_2 in parallelo a ciò che vede R_1 verso il corto. Se R_1 e R_2 risultano in parallelo:
R_{th}=\dfrac{R_1 R_2}{R_1+R_2}=\dfrac{6\times3}{6+3}=\dfrac{18}{9}=2{,}0\ \Omega.
Regola chiave: tensione → corto, corrente → aperto.
7. Massimo trasferimento di potenza
Un carico R_L collegato a una rete (equivalente di Thévenin V_{th}, R_{th}) riceve la massima potenza quando:
R_L=R_{th}.
Esercizio. Con V_{th}=12\ \text{V} e R_{th}=6\ \Omega, quale R_L massimizza la potenza, e quanto vale?
Passo 1 — adattamento. R_L=R_{th}=6\ \Omega.
Passo 2 — corrente. I=V_{th}/(R_{th}+R_L)=12/(6+6)=1{,}0\ \text{A}.
Passo 3 — potenza al carico. P_L=R_L I^2=6\times1{,}0^2=6{,}0\ \text{W}.
8. Rendimento all’adattamento
Esercizio. Nelle condizioni di massimo trasferimento (R_L=R_{th}), quale rendimento (frazione di potenza al carico rispetto al totale)?
A R_L=R_{th}, metà potenza è dissipata in R_{th} e metà nel carico:
\eta=\dfrac{P_L}{P_{tot}}=\dfrac{R_L I^2}{(R_{th}+R_L)I^2}=\dfrac{1}{2}=50\%.
Attenzione: massimo trasferimento di potenza non significa massimo rendimento. All’adattamento il rendimento è solo del 50%; nei sistemi di potenza si lavora invece con R_L \gg R_{th} per alto rendimento.
9. Trasformazione pratica di sorgente
Esercizio. Convertire un generatore di tensione V_s=24\ \text{V} in serie a R_s=6\ \Omega nel suo equivalente Norton.
La resistenza resta la stessa:
La corrente Norton è la corrente di corto:
L’equivalente Norton è quindi un generatore di corrente da 4\ \text{A} in parallelo a 6\ \Omega. La trasformazione è lecita solo vista dagli stessi morsetti esterni.
10. Resistenza di Thévenin con sorgente controllata
Esercizio. Perché, se una rete contiene sorgenti controllate, non basta spegnere i generatori indipendenti per trovare R_{th}? Qual è il metodo corretto?
Le sorgenti controllate non si “spengono”: dipendono da tensioni o correnti interne e possono continuare a fornire energia. Il metodo generale è applicare una sorgente di prova ai morsetti.
Se si impone una tensione di prova V_p e si misura la corrente I_p assorbita:
Oppure si impone una corrente di prova e si calcola la tensione risultante. Questo metodo funziona sia con sorgenti indipendenti sia con sorgenti controllate.
11. Carico ottimo diverso dalla massima efficienza
Esercizio. Con V_{th}=12\ \text{V} e R_{th}=6\ \Omega, confrontare la potenza su R_L=6\ \Omega e su R_L=24\ \Omega.
Per R_L=6\ \Omega:
Per R_L=24\ \Omega:
Il carico adattato riceve più potenza, ma dissipa altrettanta potenza in R_{th}. Il carico più alto riceve meno potenza massima, ma con rendimento migliore:
La scelta dipende dall’obiettivo: in radiofrequenza spesso si adatta; nella distribuzione di potenza si cerca rendimento.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Tensione di Thévenin | V_{th} = tensione a vuoto |
| Corrente di Norton | I_N = corrente di corto |
| Resistenza equivalente | R_{th}=R_N (generatori spenti) |
| Conversione | V_{th}=R_{th}\,I_N |
| Massimo trasferimento | R_L=R_{th} |
| Rendimento all’adattamento | 50\% |
Errori da evitare:
- spegnere male i generatori per R_{th}: tensione → corto, corrente → aperto;
- confondere V_{th} (a vuoto) con la tensione sotto carico;
- credere che massimo trasferimento di potenza significhi massimo rendimento (è solo 50%).
- spegnere le sorgenti controllate: restano attive e richiedono una sorgente di prova.