Le reti resistive in corrente continua si risolvono combinando resistori in serie e parallelo e applicando le leggi di Kirchhoff. Questa scheda accompagna ogni esercizio con lo schema circuitale, per allenare la lettura del circuito oltre al calcolo.
Convenzioni degli schemi: il rettangolo è un resistore, il simbolo con la linea lunga e corta è il generatore di tensione (la linea lunga è il polo +), i pallini pieni sono i nodi.
1. Resistori in serie
Esercizio. Generatore V=12\ \text{V}, due resistori in serie R_1=4\ \Omega e R_2=8\ \Omega. Calcolare corrente e tensioni.
Passo 1 — resistenza equivalente. In serie le resistenze si sommano:
R_{eq}=R_1+R_2=4+8=12\ \Omega.
Passo 2 — corrente (unica, perché in serie):
I=\dfrac{V}{R_{eq}}=\dfrac{12}{12}=1{,}0\ \text{A}.
Passo 3 — tensioni sui resistori.
V_1=R_1 I=4\times1{,}0=4{,}0\ \text{V},\qquad V_2=R_2 I=8\times1{,}0=8{,}0\ \text{V}.
Verifica: V_1+V_2=4+8=12\ \text{V}=V. ✓
2. Resistori in parallelo
Esercizio. Generatore V=12\ \text{V}, due resistori in parallelo R_1=6\ \Omega e R_2=3\ \Omega. Calcolare le correnti.
Passo 1 — resistenza equivalente.
\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{6}\ \Rightarrow\ R_{eq}=2{,}0\ \Omega.
Passo 2 — correnti nei rami (stessa tensione V=12\ \text{V}):
I_1=\dfrac{V}{R_1}=\dfrac{12}{6}=2{,}0\ \text{A},\qquad I_2=\dfrac{V}{R_2}=\dfrac{12}{3}=4{,}0\ \text{A}.
Passo 3 — corrente totale. I=I_1+I_2=2{,}0+4{,}0=6{,}0\ \text{A}, coerente con I=V/R_{eq}=12/2=6{,}0\ \text{A}. ✓
Più corrente nel ramo a resistenza minore (R_2).
3. Partitore di tensione
Esercizio. Nel circuito serie con R_1=3\ \Omega, R_2=9\ \Omega su V=24\ \text{V}, trovare V_2 senza calcolare la corrente.
La tensione si ripartisce proporzionalmente alle resistenze:
V_2=V\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=24\times\dfrac{9}{3+9}=24\times\dfrac{9}{12}=18\ \text{V}.
4. Partitore di corrente
Esercizio. Una corrente I=6{,}0\ \text{A} entra nel parallelo di R_1=2\ \Omega e R_2=4\ \Omega. Trovare I_1.
La corrente si ripartisce inversamente alle resistenze (al numeratore la resistenza dell’altro ramo):
I_1=I\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=6{,}0\times\dfrac{4}{2+4}=6{,}0\times\dfrac{4}{6}=4{,}0\ \text{A}.
5. Combinazione serie-parallelo
Esercizio. R_1=4\ \Omega in serie al parallelo di R_2=6\ \Omega e R_3=3\ \Omega, alimentati a V=12\ \text{V}. Corrente totale?
Passo 1 — parallelo R_2 \| R_3. 1/R_{23}=1/6+1/3=3/6, quindi R_{23}=2{,}0\ \Omega.
Passo 2 — serie con R_1. R_{eq}=R_1+R_{23}=4+2=6{,}0\ \Omega.
Passo 3 — corrente totale. I=V/R_{eq}=12/6=2{,}0\ \text{A}.
6. Tensione sul parallelo
Esercizio. Nel circuito precedente, quale tensione ai capi del parallelo R_{23}?
La corrente totale I=2{,}0\ \text{A} attraversa R_{23}=2{,}0\ \Omega:
V_{23}=R_{23}I=2{,}0\times2{,}0=4{,}0\ \text{V}.
Verifica: su R_1 cade V_1=4\times2=8\ \text{V}, e 8+4=12\ \text{V}=V. ✓
7. Ponte di Wheatstone in equilibrio
Esercizio. Un ponte di Wheatstone ha R_1=100\ \Omega, R_2=200\ \Omega, R_3=150\ \Omega. Quale R_4 azzera la tensione di ponte (equilibrio)?
All’equilibrio i prodotti dei lati opposti sono uguali:
R_1 R_4=R_2 R_3\ \Rightarrow\ R_4=\dfrac{R_2 R_3}{R_1}=\dfrac{200\times150}{100}=300\ \Omega.
All’equilibrio nessuna corrente attraversa il galvanometro: è il principio della misura di resistenze incognite.
8. Metodo dei nodi (un nodo)
Esercizio. Un nodo A è collegato: a massa tramite R_1=10\ \Omega, a un generatore da 20\ \text{V} tramite R_2=10\ \Omega, a massa tramite R_3=20\ \Omega. Trovare il potenziale del nodo V_A.
La legge dei nodi (somma delle correnti uscenti = 0), con i potenziali:
\dfrac{V_A}{R_1}+\dfrac{V_A-20}{R_2}+\dfrac{V_A}{R_3}=0.
Passo 1 — sostituire.
\dfrac{V_A}{10}+\dfrac{V_A-20}{10}+\dfrac{V_A}{20}=0.
Passo 2 — moltiplicare per 20 e risolvere.
2V_A+2(V_A-20)+V_A=0\ \Rightarrow\ 5V_A-40=0\ \Rightarrow\ V_A=8{,}0\ \text{V}.
9. Corrente in un ramo dal potenziale di nodo
Esercizio. Dal nodo precedente (V_A=8{,}0\ \text{V}), quale corrente scorre verso massa in R_1=10\ \Omega?
I_1=\dfrac{V_A}{R_1}=\dfrac{8{,}0}{10}=0{,}80\ \text{A}.
10. Resistenza vista da due morsetti
Esercizio. Trovare la resistenza equivalente vista dai morsetti di R_1=12\ \Omega in parallelo alla serie di R_2=2\ \Omega e R_3=4\ \Omega.
Passo 1 — serie R_2+R_3. R_{23}=2+4=6\ \Omega.
Passo 2 — parallelo con R_1.
R_{eq}=\dfrac{R_1 R_{23}}{R_1+R_{23}}=\dfrac{12\times6}{12+6}=\dfrac{72}{18}=4{,}0\ \Omega.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Serie | R_{eq}=R_1+R_2+\dots |
| Parallelo | \displaystyle 1/R_{eq}=\sum 1/R_i |
| Partitore tensione | V_i=V\,R_i/R_{tot} |
| Partitore corrente | I_1=I\,R_2/(R_1+R_2) |
| Ponte in equilibrio | R_1 R_4=R_2 R_3 |
| Metodo dei nodi | \displaystyle \sum I_{uscenti}=0 |
Errori da evitare:
- scambiare le regole serie/parallelo;
- nel partitore di corrente, mettere al numeratore la resistenza sbagliata (va quella dell’altro ramo);
- nel metodo dei nodi, sbagliare i versi delle correnti (usare sempre “uscenti dal nodo”);
- nel ponte, invertire i lati: all’equilibrio i prodotti incrociati sono uguali.