Formulario di Elettrotecnica

Formulario completo di elettrotecnica per i corsi di base di ingegneria. Lo scopo è offrire un riferimento autosufficiente e ragionato che parta dalle grandezze elettriche fondamentali, sviluppi l’analisi dei circuiti in corrente continua, introduca i componenti reattivi e arrivi al regime sinusoidale, alla potenza in alternata e ai sistemi trifase.

L’elettrotecnica è la disciplina che studia il comportamento dei circuiti, cioè di insiemi di componenti collegati in cui scorrono correnti elettriche. Il suo potere sta nel fatto che pochi principi — la legge di Ohm e le due leggi di Kirchhoff — bastano, in linea di principio, a risolvere qualunque rete, per quanto complessa. Il resto è organizzazione e metodo. Ogni sezione include esempi numerici svolti e commentati, con la motivazione del perché le formule hanno la forma che hanno.

Le grandezze sono nel Sistema Internazionale: tensioni in volt (V), correnti in ampere (A), resistenze in ohm (Ω), potenze in watt (W). In regime sinusoidale si usano i valori efficaci (RMS) salvo diversa indicazione, e i fasori sono numeri complessi.

L’ordine consigliato è:

grandezze elettriche fondamentali;
legge di Ohm e resistenza;
leggi di Kirchhoff e reti resistive;
potenza ed energia in continua;
condensatori e induttori;
regime sinusoidale e fasori;
impedenza e reti in alternata;
risonanza;
potenza in regime sinusoidale e rifasamento;
sistemi trifase.

Mappa di lettura operativa:

Problema	Strumento principale	Controllo
corrente in un resistore	legge di Ohm	resistenza in ohm, tensione ai capi
rete con più rami	leggi di Kirchhoff	segni coerenti su nodi e maglie
resistori combinati	serie e parallelo	stessa corrente o stessa tensione
componenti reattivi	relazioni $i$ - $v$ di C e L	derivate e condizioni iniziali
circuito in alternata	impedenze complesse	pulsazione $\omega = 2\pi f$
potenza in alternata	triangolo delle potenze	fattore di potenza $\cos\varphi$
carico trifase	relazioni stella/triangolo	fattore $\sqrt{3}$ tra fase e linea

1. Grandezze elettriche fondamentali

Carica e corrente

Tutto parte dalla carica elettrica $q$ (in coulomb, C), proprietà fondamentale della materia. Quando le cariche si muovono, si ha una corrente, definita come la quantità di carica che attraversa una sezione del conduttore nell’unità di tempo:

i(t) = \frac{dq}{dt}

L’unità è l’ampere (A): una corrente di 1 A trasporta 1 coulomb al secondo. Una sottigliezza importante riguarda il verso: per convenzione storica (precedente alla scoperta dell’elettrone) la corrente ha il verso del moto delle cariche positive, opposto a quello reale degli elettroni nei metalli. Tutta l’elettrotecnica usa questa convenzione, ed è coerente purché la si applichi sempre allo stesso modo.

Tensione

La tensione (o differenza di potenziale) tra due punti è il lavoro necessario per spostare una carica unitaria dall’uno all’altro:

v = \frac{dW}{dq}

misurata in volt (V), pari a joule per coulomb. Intuitivamente, la tensione è la “spinta” che mette in moto le cariche: senza differenza di potenziale non scorre corrente, come l’acqua non scorre senza dislivello. Punto cruciale: la tensione è sempre tra due punti, è una differenza; parlare della “tensione in un punto” ha senso solo rispetto a un riferimento (la massa, posta convenzionalmente a 0 V).

2. Legge di Ohm e resistenza

Legge di Ohm

La relazione più importante dell’elettrotecnica lega tensione e corrente in un resistore: la tensione ai capi è proporzionale alla corrente che lo attraversa:

V = R \, I

dove $R$ è la resistenza in ohm (Ω). La proporzionalità diretta è il contenuto fisico: raddoppiando la tensione raddoppia la corrente. Da questa unica relazione si ricavano $I = V/R$ (quanta corrente passa) e $R = V/I$ (quanta resistenza c’è). Vale per i materiali ohmici (metalli a temperatura costante); dispositivi come diodi e transistor non la rispettano, ma resta lo strumento base per i circuiti resistivi.

Esempio: una resistenza da $220\ \Omega$ alimentata a $5\ \text{V}$ è attraversata da $I = 5/220 \approx 22{,}7\ \text{mA}$ .

Resistenza di un conduttore

Perché un conduttore ha una certa resistenza? Dipende dal materiale e dalla geometria:

R = \rho \, \frac{L}{S}

dove $\rho$ è la resistività (Ω·m, proprietà del materiale), $L$ la lunghezza e $S$ la sezione. La forma della formula è intuitiva: un conduttore più lungo oppone più resistenza (le cariche percorrono più strada), uno più spesso ne oppone meno (più “corsie” in parallelo). È lo stesso motivo per cui un tubo lungo e stretto ostacola di più il flusso d’acqua. Nota pratica: la resistività dei metalli cresce con la temperatura, motivo per cui la resistenza di una lampadina a filamento è molto maggiore da accesa che da spenta.

3. Leggi di Kirchhoff e reti resistive

Le due leggi di Kirchhoff, insieme alla legge di Ohm, permettono di risolvere qualunque rete. Non sono postulati arbitrari: discendono da due principi di conservazione.

Legge dei nodi (LKC)

In ogni nodo (punto di incontro di più rami) la somma algebrica delle correnti è nulla:

\sum_k i_k = 0

È la conservazione della carica: la carica non si accumula né sparisce in un nodo, quindi tutto ciò che entra deve uscire. Contando positive le entranti e negative le uscenti (o viceversa), la somma è zero.

Legge delle maglie (LKT)

Lungo ogni maglia (percorso chiuso) la somma algebrica delle tensioni è nulla:

\sum_k v_k = 0

È la conservazione dell’energia: percorrendo un anello e tornando al punto di partenza, l’energia per unità di carica deve essere la stessa, quindi cadute di tensione e generatori si bilanciano. Su queste due leggi si fondano i metodi sistematici (metodo dei nodi, metodo delle maglie) per risolvere reti complesse traducendole in sistemi di equazioni lineari.

Resistori in serie

Due resistori sono in serie se attraversati dalla stessa corrente (sono uno di seguito all’altro). Le resistenze si sommano:

R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots + R_n

Perché? La stessa corrente attraversa entrambi, e le tensioni si sommano (LKT): $V = R_1 I + R_2 I = (R_1+R_2)I$ . La serie aumenta sempre la resistenza totale.

Resistori in parallelo

Due resistori sono in parallelo se hanno la stessa tensione ai capi (collegati agli stessi due nodi). Si sommano le conduttanze (gli inversi delle resistenze):

\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}

Perché gli inversi? La stessa tensione genera in ogni ramo una corrente $V/R_k$ , e le correnti si sommano (LKC): $I = V/R_1 + V/R_2 = V(1/R_1+1/R_2)$ . Il parallelo diminuisce sempre la resistenza (più strade per la corrente), risultando minore della più piccola delle resistenze. Per due soli resistori, la formula pratica:

R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}

Esempio: $R_1 = R_2 = 100\ \Omega$ in parallelo danno $R_{eq} = 50\ \Omega$ (due resistori uguali in parallelo = metà).

Partitore di tensione

In una serie, la tensione totale si ripartisce in proporzione alle resistenze:

V_k = V \, \frac{R_k}{R_{tot}}

La resistenza più grande “si prende” la tensione maggiore. È il circuito più usato per ottenere una tensione ridotta da una maggiore: con $R_1 = R_2$ , la tensione si dimezza.

Partitore di corrente

In un parallelo, la corrente si ripartisce in proporzione inversa alle resistenze (più corrente nel ramo a minore resistenza). Per due resistori:

I_1 = I \, \frac{R_2}{R_1 + R_2}

Attenzione: nella formula per $I_1$ compare $R_2$ al numeratore — proprio perché il ramo 1 prende più corrente quanto più grande è la resistenza dell’altro ramo.

4. Potenza ed energia in corrente continua

Potenza assorbita

La potenza è l’energia trasferita o convertita nell’unità di tempo. Per un bipolo è il prodotto di tensione e corrente:

P = V \, I

in watt (W). Combinando con la legge di Ohm, per un resistore si ottengono due forme equivalenti molto usate:

P = R \, I^2 = \frac{V^2}{R}

Questa è la potenza dissipata per effetto Joule, interamente convertita in calore (è ciò che scalda una stufetta o brucia un resistore sottodimensionato). La forma $P = R I^2$ spiega anche perché le perdite nelle linee dipendono dal quadrato della corrente: dimezzare la corrente (trasmettendo ad alta tensione) riduce le perdite a un quarto.

Esempio: un resistore da $100\ \Omega$ con $0{,}5\ \text{A}$ dissipa $P = 100 \times 0{,}5^2 = 25\ \text{W}$ — va scelto con potenza nominale adeguata, altrimenti si brucia.

Energia

L’energia è la potenza integrata nel tempo; a potenza costante:

W = P \, t

in joule (J) con $t$ in secondi. In pratica si usa il chilowattora (kWh), l’energia di 1 kW per un’ora: $1\ \text{kWh} = 1000 \times 3600 = 3{,}6 \times 10^6\ \text{J}$ . È l’unità della bolletta elettrica.

5. Condensatori e induttori

A differenza del resistore, che dissipa energia, condensatori e induttori la immagazzinano e la restituiscono. Sono i componenti che danno ai circuiti una “memoria” e un comportamento dinamico.

Condensatore

Un condensatore immagazzina energia nel campo elettrico tra due armature. La carica accumulata è proporzionale alla tensione applicata:

Q = C \, V

dove $C$ è la capacità in farad (F). Derivando rispetto al tempo si ottiene la relazione corrente-tensione:

i = C \, \frac{dv}{dt}

Il significato è profondo: la corrente non dipende dalla tensione, ma dalla sua variazione. Conseguenze pratiche: il condensatore si oppone alle variazioni rapide di tensione (le “ammorbidisce”), e a regime in corrente continua (tensione costante, $dv/dt=0$ ) non lascia passare corrente — si comporta come un circuito aperto. L’energia immagazzinata è:

W_C = \frac{1}{2} C V^2

Induttore

Un induttore immagazzina energia nel campo magnetico generato dalla corrente. La relazione è duale a quella del condensatore: la tensione ai capi è proporzionale alla variazione di corrente:

v = L \, \frac{di}{dt}

dove $L$ è l’induttanza in henry (H). Quindi l’induttore si oppone alle variazioni rapide di corrente, e a regime in continua (corrente costante, $di/dt=0$ ) ha tensione nulla: si comporta come un corto circuito. È il motivo per cui interrompere bruscamente la corrente in un induttore genera sovratensioni (la corrente “non vuole” cambiare). L’energia immagazzinata è:

W_L = \frac{1}{2} L I^2

La dualità condensatore/induttore (tensione↔corrente, campo elettrico↔magnetico, aperto↔corto in continua) è un tema ricorrente dell’elettrotecnica.

Condensatori e induttori in serie e parallelo

I condensatori si combinano in modo opposto ai resistori (perché la capacità sta a denominatore nella relazione $V=Q/C$ ):

\text{serie:} \quad \frac{1}{C_{eq}} = \sum_k \frac{1}{C_k}, \qquad \text{parallelo:} \quad C_{eq} = \sum_k C_k

Gli induttori si combinano come i resistori:

\text{serie:} \quad L_{eq} = \sum_k L_k, \qquad \text{parallelo:} \quad \frac{1}{L_{eq}} = \sum_k \frac{1}{L_k}

6. Regime sinusoidale e fasori

La maggior parte dell’energia elettrica è in corrente alternata sinusoidale, perché facilmente trasformabile in tensione (sezione 10). Serve quindi un metodo per analizzare i circuiti quando tensioni e correnti oscillano.

Grandezza sinusoidale

Una tensione alternata si scrive:

v(t) = V_m \cos(\omega t + \varphi)

dove $V_m$ è l’ampiezza (valore di picco), $\omega = 2\pi f$ la pulsazione (rad/s), $f$ la frequenza (Hz, 50 in Europa), $\varphi$ la fase iniziale. La pulsazione lega la velocità di oscillazione: $\omega = 2\pi f$ perché un ciclo completo corrisponde a $2\pi$ radianti.

Valore efficace (RMS)

Una sinusoide oscilla tra $+V_m$ e $-V_m$ , con media nulla: come si misura il suo “valore”? Con il valore efficace (RMS), definito come quello di una continua che dissiperebbe la stessa potenza in un resistore. Per una sinusoide:

V_{eff} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}

Il fattore $\sqrt{2}$ deriva dalla media del quadrato del coseno. I valori di rete sono efficaci: i “230 V” di casa hanno un picco di $230 \times \sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$ . Tutte le potenze in alternata si calcolano con i valori efficaci.

Rappresentazione fasoriale

L’idea chiave che semplifica tutto: poiché in regime sinusoidale tutte le grandezze oscillano alla stessa frequenza, ciò che le distingue è solo ampiezza e fase. Si rappresenta quindi ogni sinusoide con un fasore, numero complesso che racchiude queste due informazioni:

\bar{V} = V_{eff} \, e^{j\varphi}

Il vantaggio è enorme: l’analisi dei circuiti in alternata diventa algebra dei numeri complessi, perché le derivate temporali (che comparirebbero per C e L) diventano semplici moltiplicazioni per $j\omega$ . Le equazioni differenziali si trasformano in equazioni algebriche.

7. Impedenza e reti in alternata

Impedenza

L’impedenza $\bar{Z}$ è la generalizzazione della resistenza al regime sinusoidale: il rapporto tra fasore di tensione e fasore di corrente:

\bar{Z} = \frac{\bar{V}}{\bar{I}}

in ohm (Ω). È un numero complesso, e questo è il punto: la parte reale è la resistenza $R$ (dissipativa), la parte immaginaria la reattanza $X$ (legata all’accumulo di energia):

\bar{Z} = R + jX

Il modulo $|\bar Z|$ lega le ampiezze, l’argomento lega le fasi (lo sfasamento tra tensione e corrente).

Impedenze dei componenti

Componente	Impedenza	Reattanza	Comportamento
Resistore	$\bar{Z}_R = R$	$0$	nessuno sfasamento
Induttore	$\bar{Z}_L = j\omega L$	$X_L = \omega L$	corrente in ritardo
Condensatore	$\bar{Z}_C = \dfrac{1}{j\omega C}$	$X_C = -\dfrac{1}{\omega C}$	corrente in anticipo

Da leggere con attenzione: la reattanza induttiva $X_L = \omega L$ cresce con la frequenza — l’induttore ostacola di più i segnali veloci (a frequenza infinita è un circuito aperto). La reattanza capacitiva $X_C = 1/(\omega C)$ diminuisce con la frequenza — il condensatore lascia passare meglio le alte frequenze (a frequenza infinita è un corto). Questo comportamento opposto in frequenza è la base dei filtri.

Combinazione delle impedenze

Le impedenze si combinano esattamente come le resistenze, ma con l’algebra complessa:

\text{serie:} \quad \bar{Z}_{eq} = \sum_k \bar{Z}_k, \qquad \text{parallelo:} \quad \frac{1}{\bar{Z}_{eq}} = \sum_k \frac{1}{\bar{Z}_k}

La legge di Ohm in forma fasoriale, $\bar{V} = \bar{Z}\,\bar{I}$ , e le leggi di Kirchhoff valgono identiche con i fasori. È il grande vantaggio del metodo: tutte le tecniche viste per i circuiti in continua si riusano in alternata, sostituendo $R$ con $\bar Z$ .

8. Risonanza

Frequenza di risonanza

In un circuito che contiene sia induttore sia condensatore (RLC), le loro reattanze hanno segno opposto e dipendono in modo opposto dalla frequenza. Esiste quindi una frequenza, la frequenza di risonanza, a cui si annullano a vicenda ( $X_L = -X_C$ , cioè $\omega L = 1/\omega C$ ):

f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}

(ricavata risolvendo $\omega L = 1/\omega C$ per $\omega$ , poi $f=\omega/2\pi$ ). Alla risonanza, in un circuito serie, l’impedenza diventa puramente resistiva e minima, quindi la corrente è massima. È il principio della sintonizzazione: una radio “seleziona” una stazione regolando $L$ o $C$ perché la frequenza di quella stazione coincida con $f_0$ , esaltandola rispetto a tutte le altre.

Fattore di qualità

Quanto è “selettiva” la risonanza — quanto stretto è il picco — lo misura il fattore di qualità $Q$ :

Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}

Un $Q$ alto significa picco stretto e selettivo (la radio distingue bene stazioni vicine); un $Q$ basso picco largo. Il fattore di qualità misura anche il rapporto tra energia immagazzinata e dissipata per ciclo: meno resistenza (meno dissipazione) → $Q$ più alto.

9. Potenza in regime sinusoidale e rifasamento

In alternata la potenza è più ricca che in continua, perché tensione e corrente possono essere sfasate, e questo cambia quanta energia è davvero utile.

Potenza attiva, reattiva, apparente

Con tensione e corrente sfasate dell’angolo $\varphi$ si definiscono tre potenze:

P = V I \cos\varphi \quad (\text{attiva, W})

Q = V I \sin\varphi \quad (\text{reattiva, var})

S = V I \quad (\text{apparente, VA})

con $V$ e $I$ valori efficaci. La potenza attiva $P$ è quella realmente convertita in lavoro o calore (l’unica “utile”). La potenza reattiva $Q$ non compie lavoro netto: è continuamente scambiata avanti e indietro con i campi di induttori e condensatori. La potenza apparente $S$ è il prodotto totale dei valori efficaci, ed è quella che dimensiona cavi e trasformatori.

Triangolo delle potenze

Le tre potenze formano un triangolo rettangolo, perché $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$ :

S = \sqrt{P^2 + Q^2}

$P$ è il cateto orizzontale, $Q$ il verticale, $S$ l’ipotenusa, e $\varphi$ l’angolo tra $P$ e $S$ . Visualizzarlo aiuta a capire il rifasamento.

Fattore di potenza

Il fattore di potenza è il coseno dello sfasamento, cioè la frazione di potenza apparente che diventa utile:

\cos\varphi = \frac{P}{S}

Vale tra 0 e 1. Un $\cos\varphi$ vicino a 1 significa che quasi tutta la corrente assorbita produce lavoro utile. Un valore basso (tipico dei motori, carichi induttivi) significa che una grande corrente circola solo per sostenere la reattiva, scaldando i cavi senza produrre lavoro: spreco ed eventuali penali in bolletta.

Rifasamento

Per alzare un fattore di potenza basso si rifasa: si aggiungono condensatori in parallelo al carico, la cui potenza reattiva (capacitiva) compensa quella induttiva del carico. La capacità necessaria per passare da $\cos\varphi_1$ a $\cos\varphi_2$ è:

C = \frac{P \, (\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2)}{\omega \, V^2}

L’idea fisica è elegante: induttore e condensatore scambiano energia reattiva in opposizione di fase, quindi affiancandoli se la “passano” tra loro localmente, invece di farla fluire avanti e indietro dalla rete. Risultato: meno corrente in linea, meno perdite, più capacità di rete disponibile.

10. Sistemi trifase

La generazione, trasmissione e distribuzione dell’energia avviene quasi sempre in trifase: tre tensioni alternate uguali, sfasate di 120° l’una dall’altra. È più efficiente del monofase a parità di potenza, e genera naturalmente il campo rotante che fa girare i motori.

Tensioni di fase e di linea

In un sistema trifase si distinguono due tensioni: quella di fase (tra una fase e il neutro) e quella concatenata o di linea (tra due fasi). Sono legate dal fattore $\sqrt{3}$ :

V_{linea} = \sqrt{3} \; V_{fase}

Il $\sqrt{3}$ nasce dalla composizione vettoriale di due tensioni sfasate di 120°. Esempio concreto: nella rete europea, $230\ \text{V}$ fase-neutro e $230 \times \sqrt{3} \approx 400\ \text{V}$ tra le fasi. Dalla stessa rete si alimentano così carichi monofase (230 V) e trifase (400 V).

Collegamento a stella e a triangolo

I tre carichi (o avvolgimenti) si collegano in due modi, con relazioni “scambiate” tra tensioni e correnti:

\text{Stella (Y):} \quad V_{linea} = \sqrt{3}\,V_{fase}, \qquad I_{linea} = I_{fase}

\text{Triangolo }(\Delta)\text{:} \quad V_{linea} = V_{fase}, \qquad I_{linea} = \sqrt{3}\,I_{fase}

Nella stella i tre componenti hanno un punto comune (il centro stella, eventualmente il neutro); nel triangolo sono collegati ad anello. La scelta del collegamento cambia tensioni e correnti viste dai componenti, e si usa per adattare un carico alla tensione disponibile o per l’avviamento dei motori (avviamento stella-triangolo).

Potenza trifase

La potenza attiva totale di un sistema trifase equilibrato, in funzione delle grandezze di linea, è:

P = \sqrt{3} \; V_{linea} \, I_{linea} \cos\varphi

Questa forma (con il $\sqrt{3}$ ) vale identica sia per stella sia per triangolo, purché si usino i valori di linea — comodità che evita di dover sapere il collegamento interno. Un pregio fisico decisivo del trifase: la potenza istantanea totale è costante nel tempo (le tre potenze pulsanti, sfasate di 120°, si sommano a un valore fisso), mentre in monofase la potenza istantanea pulsa annullandosi due volte per periodo. Ciò dà ai motori trifase una coppia uniforme, senza vibrazioni.

Note d’uso ed errori comuni

In regime sinusoidale, usare sempre i valori efficaci per le potenze; non confondere picco ed efficace ( $V_m = \sqrt{2}\,V_{eff}$ , quindi i 230 V di rete hanno picco ~325 V).
La pulsazione è $\omega = 2\pi f$ : dimenticare il $2\pi$ passando da Hz a rad/s è un errore classico.
Nelle impedenze, attenzione al segno: la reattanza capacitiva è negativa, l’induttiva positiva. La corrente è in ritardo sull’induttore, in anticipo sul condensatore.
A regime in continua: il condensatore è un circuito aperto, l’induttore un corto circuito. Utile per trovare rapidamente i valori a regime.
Il parallelo di resistori è sempre minore della più piccola; la serie sempre maggiore della più grande.
Nel partitore di corrente, al numeratore va la resistenza dell’altro ramo.
Nei sistemi trifase, verificare sempre se i dati sono di linea o di fase prima di applicare il fattore $\sqrt{3}$ : è l’errore più frequente.
Il rifasamento si fa con condensatori in parallelo al carico, mai in serie.
Le perdite in linea vanno con $I^2$ : trasmettere ad alta tensione (bassa corrente) le riduce drasticamente.