Doppi bipoli e quadripoli: esercizi svolti su parametri Z, Y, h

Un doppio bipolo (o quadripolo) è una rete con una porta d’ingresso e una d’uscita, descritta da quattro grandezze: $V_1, I_1$ (ingresso) e $V_2, I_2$ (uscita). Invece di analizzare tutto l’interno, si caratterizza la rete con una matrice di due equazioni che lega queste grandezze. È il linguaggio di amplificatori, filtri, linee e modelli di transistor.

Convenzione: correnti $I_1$ e $I_2$ entranti nelle rispettive porte.

1. Parametri impedenza Z

I parametri $\mathbf{Z}$ esprimono le tensioni in funzione delle correnti:

$\begin{cases}V_1=z_{11}I_1+z_{12}I_2\\ V_2=z_{21}I_1+z_{22}I_2\end{cases}$

Si misurano a porte aperte ( $I=0$ ):

\begin{aligned} z_{11}&=\left.\dfrac{V_1}{I_1}\right|_{I_2=0}, &z_{12}&=\left.\dfrac{V_1}{I_2}\right|_{I_1=0},\\ z_{21}&=\left.\dfrac{V_2}{I_1}\right|_{I_2=0}, &z_{22}&=\left.\dfrac{V_2}{I_2}\right|_{I_1=0}. \end{aligned}

2. Parametri Z di una rete a T

Esercizio. Una rete a T con ramo serie d’ingresso $R_a=10\ \Omega$ , ramo serie d’uscita $R_b=20\ \Omega$ e ramo trasversale comune $R_c=30\ \Omega$ . Calcolare i parametri Z.

Passo 1 — $z_{11}$ (con $I_2=0$ , porta 2 aperta). Dalla porta 1 si vede $R_a$ in serie a $R_c$ (in $R_b$ non scorre corrente):

$z_{11}=R_a+R_c=10+30=40\ \Omega.$

Passo 2 — $z_{22}$ (con $I_1=0$ ). Specularmente dalla porta 2:

$z_{22}=R_b+R_c=20+30=50\ \Omega.$

Passo 3 — $z_{12}=z_{21}$ (transimpedenze). Con una porta aperta, la corrente dell’altra attraversa solo $R_c$ , che è il ramo comune:

$z_{12}=z_{21}=R_c=30\ \Omega.$

La rete a T ha sempre $z_{12}=z_{21}=$ (ramo trasversale). L’uguaglianza $z_{12}=z_{21}$ conferma che è una rete reciproca (solo elementi passivi).

3. Parametri ammettenza Y

I parametri $\mathbf{Y}$ esprimono le correnti in funzione delle tensioni, misurati a porte in corto ( $V=0$ ):

$\begin{cases}I_1=y_{11}V_1+y_{12}V_2\\ I_2=y_{21}V_1+y_{22}V_2\end{cases}$

$y_{11}=\left.\dfrac{I_1}{V_1}\right|_{V_2=0},\qquad y_{22}=\left.\dfrac{I_2}{V_2}\right|_{V_1=0}.$

4. Parametri Y di una rete a Π

Esercizio. Una rete a Π con ramo trasversale d’ingresso $R_1=20\ \Omega$ , ramo serie $R_2=10\ \Omega$ , ramo trasversale d’uscita $R_3=40\ \Omega$ . Calcolare $y_{11}$ .

Conviene ragionare in conduttanze: $G_1=1/20=0{,}05\ \text{S}$ , $G_2=1/10=0{,}10\ \text{S}$ , $G_3=1/40=0{,}025\ \text{S}$ .

$y_{11}$ (con $V_2=0$ , porta 2 in corto). Dalla porta 1 si vedono $R_1$ e $R_2$ in parallelo (il corto su porta 2 mette $R_2$ a massa):

$y_{11}=G_1+G_2=0{,}05+0{,}10=0{,}15\ \text{S}.$

Per la rete a Π i parametri Y sono il duale dei parametri Z della T: $y_{11}=G_1+G_2$ , $y_{22}=G_2+G_3$ , $y_{12}=y_{21}=-G_2$ .

5. Verifica di reciprocità

Esercizio. Per la rete a Π del punto 4, calcolare $y_{12}$ e $y_{21}$ e verificare la reciprocità.

Con una porta in corto, l’accoppiamento avviene solo tramite il ramo serie $R_2$ , con segno negativo per convenzione:

$y_{12}=y_{21}=-G_2=-0{,}10\ \text{S}.$

$y_{12}=y_{21}$ : la rete è reciproca, come atteso per soli elementi passivi. La reciprocità cade quando compaiono generatori controllati (es. modello di transistor).

6. Parametri ibridi h

Esercizio. Scrivere il significato dei parametri ibridi $h$ , usati nel modello a piccoli segnali del transistor BJT.

Il set ibrido mescola le variabili:

$\begin{cases}V_1=h_{11}I_1+h_{12}V_2\\ I_2=h_{21}I_1+h_{22}V_2\end{cases}$

Interpretazione:

$h_{11}=\left.\dfrac{V_1}{I_1}\right|_{V_2=0}$ → impedenza d’ingresso (uscita in corto), in $\Omega$ ;
$h_{21}=\left.\dfrac{I_2}{I_1}\right|_{V_2=0}$ → guadagno di corrente (è il $\beta$ del transistor), adimensionale;
$h_{12}=\left.\dfrac{V_1}{V_2}\right|_{I_1=0}$ → reazione inversa di tensione, adimensionale;
$h_{22}=\left.\dfrac{I_2}{V_2}\right|_{I_1=0}$ → ammettenza d’uscita, in $\text{S}$ .

Le dimensioni miste ( $\Omega$ , S, due numeri puri) danno il nome “ibridi”: sono comodi proprio perché $h_{11}$ e $h_{21}$ si misurano con uscita in corto, condizione naturale per il transistor.

7. Parametri di trasmissione ABCD

Esercizio. Calcolare i parametri ABCD di una semplice impedenza serie $Z$ .

I parametri di trasmissione legano ingresso e uscita (con $I_2$ uscente):

$\begin{cases}V_1=A\,V_2+B\,I_2\\ I_1=C\,V_2+D\,I_2\end{cases}$

Per una sola impedenza serie $Z$ : la tensione cade su $Z$ ma la corrente passa inalterata, quindi $V_1=V_2+Z I_2$ e $I_1=I_2$ :

$A=1,\quad B=Z,\quad C=0,\quad D=1\ \Rightarrow\ \begin{pmatrix}1 & Z\\ 0 & 1\end{pmatrix}.$

I parametri ABCD sono i preferiti per le cascate: due quadripoli in serie hanno matrice ABCD pari al prodotto delle singole matrici. È così che si analizzano linee e filtri a sezioni multiple.

8. Impedenza d’ingresso con carico

Esercizio. La rete a T del punto 2 ( $z_{11}=40$ , $z_{22}=50$ , $z_{12}=z_{21}=30\ \Omega$ ) è chiusa su un carico $R_L=50\ \Omega$ . Calcolare l’impedenza d’ingresso vista dalla porta 1.

Con il carico, $V_2=-R_L I_2$ . Sostituendo nelle equazioni Z e ricavando $Z_{in}=V_1/I_1$ :

$Z_{in}=z_{11}-\dfrac{z_{12}\,z_{21}}{z_{22}+R_L}=40-\dfrac{30\times30}{50+50}=40-\dfrac{900}{100}=40-9=31\ \Omega.$

Il carico in uscita si “riflette” sull’ingresso tramite il termine di accoppiamento $z_{12}z_{21}$ : senza accoppiamento ( $z_{12}=0$ ) l’ingresso resterebbe $z_{11}$ .

9. Conversione da parametri Z a Y

Esercizio. Per la rete a T del punto 2, con

\mathbf Z= \begin{pmatrix} 40 & 30\\ 30 & 50 \end{pmatrix}\Omega,

calcolare la matrice $\mathbf Y=\mathbf Z^{-1}$ .

Il determinante è:

\Delta_Z=z_{11}z_{22}-z_{12}z_{21}=40\times50-30\times30=2000-900=1100.

L’inversa vale:

\mathbf Y=\dfrac{1}{1100} \begin{pmatrix} 50 & -30\\ -30 & 40 \end{pmatrix}.

Quindi:

y_{11}=0{,}0455\ \text{S},\quad y_{12}=y_{21}=-0{,}0273\ \text{S},\quad y_{22}=0{,}0364\ \text{S}.

La reciprocità resta visibile anche dopo la conversione: $y_{12}=y_{21}$ . Il segno negativo dei termini mutui è normale nelle matrici di ammettenza passive.

10. Cascata di due quadripoli ABCD

Esercizio. Due impedenze serie $Z_1=10\ \Omega$ e $Z_2=20\ \Omega$ sono in cascata. Usare i parametri ABCD per ricavare l’equivalente.

Ogni impedenza serie ha matrice:

\mathbf M_Z= \begin{pmatrix} 1 & Z\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

La cascata:

\mathbf M= \begin{pmatrix} 1 & 10\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 20\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 30\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Il risultato è un’unica impedenza serie da $30\ \Omega$ , come atteso. Il vantaggio degli ABCD emerge con reti più complesse: la cascata resta un prodotto di matrici ordinato.

11. Guadagno di tensione con carico

Esercizio. Una rete ha parametri ABCD $A=1$ , $B=30\ \Omega$ , $C=0$ , $D=1$ ed è chiusa su $R_L=60\ \Omega$ . Calcolare il rapporto $V_2/V_1$ .

Con $I_2=V_2/R_L$ :

V_1=A V_2+B I_2=V_2\left(A+\dfrac{B}{R_L}\right).

Quindi:

\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{1}{A+B/R_L} =\dfrac{1}{1+30/60} =\dfrac{1}{1{,}5}=0{,}667.

Il quadripolo serie e il carico formano un partitore. Il formalismo ABCD permette di calcolare rapidamente il guadagno caricato senza ridisegnare il circuito interno.

Errori comuni

Sbagliare la condizione di misura. I parametri Z si trovano a porte aperte ( $I=0$ ), i parametri Y a porte in corto ( $V=0$ ). Invertirle dà risultati senza senso.
Dimenticare il segno delle correnti. La convenzione $I_1,I_2$ entranti è cruciale: cambiare verso di $I_2$ cambia il segno dei termini di accoppiamento.
Assumere sempre la reciprocità. $z_{12}=z_{21}$ vale solo per reti passive; con generatori controllati (transistor) decade ed è proprio ciò che rende utile il set $h$ .
Sommare male le matrici in cascata. Solo i parametri ABCD si moltiplicano in cascata; Z e Y no. Per cascate, convertire prima in ABCD.
Invertire una matrice senza controllare il determinante. La conversione Z↔Y richiede $\Delta\ne0$ e cambia unità da ohm a siemens.
Dimenticare il carico nel guadagno. Il rapporto a vuoto non coincide con quello sotto carico: il carico si riflette attraverso i parametri del quadripolo.