import Circuit from ’../../../components/Circuit.astro’;
Condensatori e induttori sono i bipoli che immagazzinano energia: il condensatore nel campo elettrico, l’induttore nel campo magnetico. A differenza del resistore non dissipano (idealmente) ma accumulano e restituiscono. Questa scheda allena le relazioni costitutive, le combinazioni serie/parallelo e i bilanci di energia.
Relazioni costitutive (convenzione degli utilizzatori):
i_C=C\dfrac{dv_C}{dt},\qquad v_L=L\dfrac{di_L}{dt}.
1. Carica immagazzinata in un condensatore
Esercizio. Un condensatore C=470\ \mu\text{F} caricato a V=25\ \text{V}. Calcolare la carica accumulata.
Q=CV=470\times10^{-6}\times25=1{,}18\times10^{-2}\ \text{C}=11{,}8\ \text{mC}.
La carica è proporzionale alla tensione: il condensatore è un “serbatoio” lineare di carica.
2. Energia in un condensatore
Esercizio. Stesso condensatore. Calcolare l’energia immagazzinata.
W_C=\dfrac{1}{2} C V^2=\dfrac{1}{2}\times470\times10^{-6}\times25^2=\dfrac{1}{2}\times470\times10^{-6}\times625=0{,}147\ \text{J}.
L’energia cresce con il quadrato della tensione: raddoppiare V quadruplica l’energia.
3. Condensatori in parallelo
Esercizio. Tre condensatori C_1=10\ \mu\text{F}, C_2=22\ \mu\text{F}, C_3=47\ \mu\text{F} in parallelo. Calcolare la capacità equivalente.
In parallelo le capacità si sommano (come i resistori in serie):
C_{eq}=C_1+C_2+C_3=10+22+47=79\ \mu\text{F}.
4. Condensatori in serie
Esercizio. Due condensatori C_1=10\ \mu\text{F} e C_2=15\ \mu\text{F} in serie. Calcolare la capacità equivalente.
In serie si combinano come i resistori in parallelo:
\dfrac{1}{C_{eq}}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{3+2}{30}=\dfrac{5}{30}\ \Rightarrow\ C_{eq}=6{,}0\ \mu\text{F}.
La serie riduce la capacità sotto il valore minore: regola opposta a quella dei resistori.
5. Ripartizione di tensione in serie
Esercizio. I due condensatori del punto 4 in serie su V=50\ \text{V}. Trovare la tensione su ciascuno.
Passo 1 — carica comune. In serie i condensatori portano la stessa carica:
Q=C_{eq}\,V=6{,}0\times10^{-6}\times50=3{,}0\times10^{-4}\ \text{C}.
Passo 2 — tensioni:
Verifica: V_1+V_2=30+20=50\ \text{V}. ✓ La tensione maggiore cade sul condensatore di capacità minore.
6. Corrente in un condensatore con rampa di tensione
Esercizio. Su un condensatore C=100\ \mu\text{F} la tensione cresce linearmente da 0 a 10\ \text{V} in 2{,}0\ \text{ms}. Calcolare la corrente.
La corrente dipende dalla derivata della tensione, qui costante:
i_C=C\dfrac{dv_C}{dt}=100\times10^{-6}\times\dfrac{10}{2{,}0\times10^{-3}}=100\times10^{-6}\times5000=0{,}50\ \text{A}.
Con tensione costante la corrente sarebbe nulla: il condensatore reagisce solo alle variazioni.
7. Energia in un induttore
Esercizio. Un induttore L=50\ \text{mH} percorso da I=2{,}0\ \text{A}. Calcolare l’energia immagazzinata.
W_L=\dfrac{1}{2} L I^2=\dfrac{1}{2}\times50\times10^{-3}\times(2{,}0)^2=\dfrac{1}{2}\times50\times10^{-3}\times4=0{,}10\ \text{J}.
Specularmente al condensatore, l’energia magnetica cresce con il quadrato della corrente.
8. Tensione su un induttore con rampa di corrente
Esercizio. Nell’induttore L=50\ \text{mH} la corrente sale da 0 a 2{,}0\ \text{A} in 4{,}0\ \text{ms}. Calcolare la tensione indotta.
v_L=L\dfrac{di_L}{dt}=50\times10^{-3}\times\dfrac{2{,}0}{4{,}0\times10^{-3}}=50\times10^{-3}\times500=25\ \text{V}.
Più rapida è la variazione di corrente, maggiore è la tensione indotta: è il principio dell’extracorrente di apertura.
9. Induttori in serie e in parallelo
Esercizio. Due induttori L_1=20\ \text{mH} e L_2=30\ \text{mH} (senza mutuo accoppiamento). Calcolare l’equivalente in serie e in parallelo.
Gli induttori seguono le stesse regole dei resistori:
Serie:
L_{s}=L_1+L_2=20+30=50\ \text{mH}.
Parallelo:
\dfrac{1}{L_{p}}=\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{3+2}{60}=\dfrac{5}{60}\ \Rightarrow\ L_{p}=12\ \text{mH}.
10. Bilancio di energia in scarica capacitiva
Esercizio. Il condensatore del punto 2 (C=470\ \mu\text{F}, W_C=0{,}147\ \text{J}) si scarica su un resistore R=100\ \Omega. Quanta energia dissipa il resistore e qual è la corrente iniziale?
Passo 1 — energia dissipata. Tutta l’energia immagazzinata finisce in calore nel resistore:
W_R=W_C=0{,}147\ \text{J}.
Passo 2 — corrente iniziale (t=0^+, tensione ancora 25\ \text{V}):
i(0^+)=\dfrac{V}{R}=\dfrac{25}{100}=0{,}25\ \text{A}.
Il condensatore ideale non dissipa: nei transitori l’energia accumulata viene restituita o trasferita altrove, mai persa al suo interno.
11. Costante di tempo RC
Esercizio. Il condensatore C=470\ \mu\text{F} si scarica su R=100\ \Omega. Calcolare la costante di tempo e la tensione dopo una costante di tempo, partendo da 25\ \text{V}.
In scarica:
Dopo t=\tau:
Dopo una costante di tempo resta il 36{,}8\% della tensione iniziale. Dopo circa 5\tau il transitorio è praticamente esaurito.
12. Continuità della tensione sul condensatore
Esercizio. Un condensatore è carico a v_C(0^-)=12\ \text{V}. Viene collegato istantaneamente a una rete resistiva. Qual è v_C(0^+)?
La tensione su un condensatore ideale non può cambiare istantaneamente, perché richiederebbe una corrente impulsiva infinita:
Quindi:
Questa regola è fondamentale nei transitori: il condensatore si comporta inizialmente come un generatore di tensione pari alla tensione precedente.
13. Continuità della corrente nell’induttore
Esercizio. Un induttore porta i_L(0^-)=2{,}0\ \text{A}. Dopo una commutazione, quale corrente ha all’istante 0^+?
La corrente in un induttore ideale non può cambiare istantaneamente, perché richiederebbe una tensione impulsiva infinita:
Quindi:
All’istante iniziale l’induttore si comporta come un generatore di corrente pari alla corrente precedente. È il motivo delle sovratensioni all’apertura di circuiti induttivi.
Errori comuni
- Invertire le regole serie/parallelo dei condensatori. I condensatori si sommano in parallelo e si combinano come reciproci in serie: opposto ai resistori.
- Scrivere W=\dfrac{1}{2} QV ignorando Q=CV. Le forme \dfrac{1}{2} CV^2, \dfrac{1}{2} QV e \dfrac{Q^2}{2C} sono equivalenti: usare quella coerente con i dati.
- Confondere i=C\,dv/dt con v=L\,di/dt. Il condensatore lega corrente alla derivata di tensione; l’induttore lega tensione alla derivata di corrente. Scambiarli è l’errore tipico.
- Dimenticare il quadrato nell’energia. Sia W_C sia W_L dipendono dal quadrato (di V e di I): variazioni piccole della grandezza producono variazioni grandi di energia.
- Cambiare istantaneamente le variabili di stato. v_C e i_L sono continue nei modelli ideali: le condizioni iniziali guidano tutto il transitorio.
- Confondere energia immagazzinata e potenza istantanea. La potenza può cambiare segno; l’energia accumulata resta non negativa.