Transistor MOSFET: esercizi svolti

Il MOSFET è il transistor dominante nei circuiti integrati: controlla la corrente di drain $I_D$ tramite la tensione gate-source $V_{GS}$ (non la corrente, a differenza del BJT). Questa scheda allena le equazioni delle regioni di funzionamento e il punto di lavoro di un MOSFET a canale n in arricchimento.

Soglia: il MOSFET conduce solo se $V_{GS}>V_{th}$ . Corrente in saturazione: $I_D=\dfrac{1}{2} k\,(V_{GS}-V_{th})^2$ .

1. Condizione di conduzione

Esercizio. Un MOSFET a canale n ha $V_{th}=2\ \text{V}$ . Conduce con $V_{GS}=1{,}5\ \text{V}$ ? E con $V_{GS}=3\ \text{V}$ ?

La conduzione richiede $V_{GS}>V_{th}$ :

$V_{GS}=1{,}5\ \text{V}<2\ \text{V}$ → interdetto ( $I_D=0$ );
$V_{GS}=3\ \text{V}>2\ \text{V}$ → conduce.

La differenza $V_{GS}-V_{th}$ (tensione di overdrive) è ciò che “apre il canale”: qui $3-2=1\ \text{V}$ di overdrive.

2. Distinzione triodo / saturazione

Esercizio. Per il MOSFET in conduzione ( $V_{GS}=3\ \text{V}$ , $V_{th}=2\ \text{V}$ ), stabilire la regione se $V_{DS}=0{,}5\ \text{V}$ e se $V_{DS}=4\ \text{V}$ .

La frontiera è $V_{DS}=V_{GS}-V_{th}=3-2=1\ \text{V}$ :

$V_{DS}=0{,}5\ \text{V}<1\ \text{V}$ → regione di triodo (ohmica, il MOSFET è come una resistenza variabile);
$V_{DS}=4\ \text{V}>1\ \text{V}$ → regione di saturazione (corrente costante, usata per amplificare).

In saturazione $I_D$ non dipende più (idealmente) da $V_{DS}$ : è il regime da amplificatore.

3. Corrente di drain in saturazione

Esercizio. MOSFET con $k=0{,}5\ \text{mA/V}^2$ , $V_{th}=2\ \text{V}$ , $V_{GS}=5\ \text{V}$ , in saturazione. Calcolare $I_D$ .

\begin{aligned} I_D&=\dfrac{1}{2} k\,(V_{GS}-V_{th})^2\\ &=\dfrac{1}{2}\times0{,}5\times10^{-3}\times(5-2)^2\\ &=\dfrac{1}{2}\times0{,}5\times10^{-3}\times9\\ &=2{,}25\ \text{mA}. \end{aligned}

La corrente cresce con il quadrato dell’overdrive: caratteristica quadratica, non lineare come l’idealizzazione del BJT.

4. Corrente in regione di triodo

Esercizio. Stesso MOSFET ( $k=0{,}5\ \text{mA/V}^2$ , $V_{th}=2\ \text{V}$ , $V_{GS}=5\ \text{V}$ ) ma con $V_{DS}=1\ \text{V}$ (triodo). Calcolare $I_D$ .

In triodo vale l’equazione completa:

\begin{aligned} I_D&=k\left[(V_{GS}-V_{th})V_{DS}-\dfrac{V_{DS}^2}{2}\right]\\ &=0{,}5\times10^{-3}\left[3\times1-\dfrac{1}{2}\right]\\ &=0{,}5\times10^{-3}\times2{,}5\\ &=1{,}25\ \text{mA}. \end{aligned}

Per $V_{DS}$ piccoli il MOSFET in triodo si comporta come un resistore controllato da $V_{GS}$ : base degli interruttori analogici.

5. Transconduttanza

Esercizio. Per il MOSFET in saturazione del punto 3, calcolare la transconduttanza $g_m$ .

La transconduttanza misura quanto $I_D$ risponde a $V_{GS}$ :

$g_m=k\,(V_{GS}-V_{th})=0{,}5\times10^{-3}\times(5-2)=1{,}5\ \text{mS}.$

$g_m$ è il guadagno fondamentale del MOSFET come amplificatore: maggiore overdrive ⇒ maggiore $g_m$ . È il parametro a piccolo segnale chiave.

6. Polarizzazione e punto di lavoro

Esercizio. $V_{DD}=10\ \text{V}$ , $R_D=2\ \text{k}\Omega$ , MOSFET con $I_D=2\ \text{mA}$ (dal punto 3, $V_{GS}$ imposto). Calcolare $V_{DS}$ e verificare la saturazione.

Passo 1 — tensione drain-source:

$V_{DS}=V_{DD}-R_D I_D=10-2000\times2\times10^{-3}=10-4=6\ \text{V}.$

Passo 2 — verifica saturazione: serve $V_{DS}>V_{GS}-V_{th}=3\ \text{V}$ . Poiché $6>3$ → saturazione confermata, il MOSFET amplifica correttamente.

Il punto di lavoro $(V_{DS}=6\ \text{V},\ I_D=2\ \text{mA})$ lascia ampio margine prima del triodo: buona scelta per l’escursione del segnale.

7. Overdrive richiesto da una corrente

Esercizio. Un MOSFET in saturazione ha $k=1\ \text{mA/V}^2$ , $V_{th}=1{,}5\ \text{V}$ e si vuole $I_D=2\ \text{mA}$ . Calcolare $V_{GS}$ .

In saturazione:

I_D=\dfrac{1}{2} k(V_{GS}-V_{th})^2.

Poniamo:

V_{OV}=V_{GS}-V_{th}.

Allora:

V_{OV}=\sqrt{\dfrac{2I_D}{k}}.

Sostituendo:

V_{OV}=\sqrt{\dfrac{2\cdot2\ \text{mA}}{1\ \text{mA/V}^2}} = \sqrt{4}\ \text{V} = 2\ \text{V}.

Quindi:

V_{GS}=V_{th}+V_{OV}=1{,}5+2=3{,}5\ \text{V}.

Risultato:

\boxed{V_{GS}=3{,}5\ \text{V}}.

Questo è il calcolo inverso più comune nella polarizzazione: si parte dalla corrente desiderata e si ricava la tensione gate-source necessaria.

8. Verifica di saturazione con resistenza di drain

Esercizio. Un NMOS ha $V_{DD}=5\ \text{V}$ , $R_D=1\ \text{k}\Omega$ , $V_{th}=1\ \text{V}$ , $V_{GS}=2\ \text{V}$ e $I_D=3\ \text{mA}$ . Verificare se è in saturazione.

Calcoliamo:

V_{DS}=V_{DD}-R_DI_D.

Sostituendo:

V_{DS}=5-1000\cdot3\times10^{-3}=5-3=2\ \text{V}.

La condizione di saturazione è:

V_{DS}\geq V_{GS}-V_{th}.

L’overdrive vale:

V_{GS}-V_{th}=2-1=1\ \text{V}.

Poiché:

2\ \text{V}\geq1\ \text{V},

il MOSFET è in saturazione.

\boxed{\text{saturazione confermata}}.

La verifica va sempre fatta dopo aver calcolato il punto di lavoro: l’equazione usata per $I_D$ è valida solo nella regione coerente.

9. Guadagno a piccolo segnale common-source

Esercizio. Un amplificatore common-source ha $g_m=2\ \text{mS}$ e $R_D=5\ \text{k}\Omega$ . Stimare il guadagno di tensione trascurando $r_o$ .

Il guadagno approssimato è:

A_v\approx -g_mR_D.

Sostituendo:

A_v\approx -2\times10^{-3}\cdot5000=-10.

Risultato:

\boxed{A_v\approx -10}.

Il segno meno indica inversione di fase: un aumento di $V_{GS}$ aumenta $I_D$ , cresce la caduta su $R_D$ e quindi scende la tensione di drain.

10. Potenza dissipata

Esercizio. Un MOSFET ha $I_D=20\ \text{mA}$ e $V_{DS}=4\ \text{V}$ . Calcolare la potenza dissipata.

La potenza nel transistor è:

P_D=V_{DS}I_D.

Sostituendo:

P_D=4\cdot20\times10^{-3}=0{,}08\ \text{W}=80\ \text{mW}.

Risultato:

\boxed{P_D=80\ \text{mW}}.

La verifica termica non è opzionale: anche un punto di lavoro elettricamente corretto può essere inutilizzabile se supera la potenza massima del dispositivo.

Errori comuni

Confondere controllo in corrente e in tensione. Il MOSFET è controllato da $V_{GS}$ (gate quasi senza corrente), il BJT da $I_B$ .
Sbagliare la regione. La frontiera triodo/saturazione è $V_{DS}=V_{GS}-V_{th}$ : usare l’equazione sbagliata dà $I_D$ errata.
Dimenticare il fattore $\dfrac{1}{2}$ in saturazione. L’equazione quadratica è $\dfrac{1}{2} k(V_{GS}-V_{th})^2$ ; ometterlo raddoppia la corrente.
Applicare la formula di saturazione in triodo. Per $V_{DS}$ piccolo serve l’equazione completa del triodo, non quella quadratica.
Trascurare il controllo termico. Regione e corrente corrette non bastano se $V_{DS}I_D$ supera la dissipazione ammessa.