Filtri passivi: esercizi svolti

I filtri passivi selezionano le frequenze di un segnale usando solo resistori, condensatori e induttori. Sono i mattoni di base del condizionamento dei segnali: separare l’utile dal rumore, limitare la banda, accoppiare stadi. Questa scheda allena il calcolo di frequenze di taglio, guadagni e attenuazioni.

Punto a $-3\,$ dB: la frequenza di taglio è dove l’uscita scende a $1/\sqrt2\approx0{,}707$ dell’ingresso (potenza dimezzata).

1. Frequenza di taglio RC

Esercizio. Filtro RC con $R=4{,}7\ \text{k}\Omega$ e $C=33\ \text{nF}$ . Calcolare la frequenza di taglio.

\begin{aligned} f_t&=\dfrac{1}{2\pi RC}\\ &=\dfrac{1}{2\pi\times4700\times33\times10^{-9}}\\ &=\dfrac{1}{9{,}74\times10^{-4}} =1{,}03\times10^{3}\ \text{Hz} \approx1{,}0\ \text{kHz}. \end{aligned}

La frequenza di taglio dipende dal prodotto $RC$ : per abbassarla si aumenta $R$ o $C$ .

2. Filtro passa-basso: guadagno in banda e a taglio

Esercizio. Per il filtro del punto 1 (uscita su $C$ , passa-basso), calcolare il guadagno a $f=0$ e a $f=f_t$ .

Il modulo del passa-basso RC:

$\left|\dfrac{V_{out}}{V_{in}}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{1+(f/f_t)^2}}.$

a $f=0$ : $|G|=1$ (banda passante, $0\,$ dB);
a $f=f_t$ : $|G|=1/\sqrt2=0{,}707$ ( $-3\,$ dB).

Sotto $f_t$ il segnale passa, sopra viene attenuato: blocca le alte frequenze.

3. Guadagno in decibel

Esercizio. Esprimere in decibel il guadagno $0{,}707$ del punto 2 e il guadagno $0{,}1$ .

$20\log_{10}(0{,}707)=-3{,}0\ \text{dB},\qquad 20\log_{10}(0{,}1)=-20\ \text{dB}.$

I decibel comprimono ampie dinamiche: $-3\,$ dB è il taglio, $-20\,$ dB è un’attenuazione di 10 volte in tensione.

4. Attenuazione fuori banda

Esercizio. Per il passa-basso del punto 1, quanto vale l’attenuazione a una decade oltre il taglio ( $f=10\,f_t=10\ \text{kHz}$ )?

Per $f\gg f_t$ , $|G|\approx f_t/f$ :

$|G|\approx\dfrac{1}{10}=0{,}1\ \Rightarrow\ -20\ \text{dB}.$

Un filtro del primo ordine attenua a $-20\,$ dB/decade. A $100\,$ kHz (due decadi) sarebbe $-40\,$ dB. La pendenza è fissa per i filtri del primo ordine.

5. Filtro passa-alto

Esercizio. Stesso $R$ e $C$ ( $f_t=1\ \text{kHz}$ ) ma uscita prelevata su $R$ . Che filtro è e quanto vale il guadagno a $100\ \text{Hz}$ ?

Con uscita su $R$ il modulo è:

$\left|\dfrac{V_{out}}{V_{in}}\right|=\dfrac{f/f_t}{\sqrt{1+(f/f_t)^2}}.$

A $f=100\ \text{Hz}=0{,}1\,f_t$ :

$|G|=\dfrac{0{,}1}{\sqrt{1+0{,}01}}=\dfrac{0{,}1}{1{,}005}=0{,}0995\approx-20\ \text{dB}.$

È un passa-alto: blocca le basse frequenze (qui $-20\,$ dB a una decade sotto il taglio) e lascia passare le alte.

6. Filtro passa-banda e larghezza di banda

Esercizio. Un passa-banda si ottiene cascando un passa-alto con $f_L=200\ \text{Hz}$ e un passa-basso con $f_H=2\ \text{kHz}$ . Calcolare frequenza centrale e larghezza di banda.

La banda passante è tra $f_L$ e $f_H$ :

$B=f_H-f_L=2000-200=1800\ \text{Hz}.$

Frequenza centrale (media geometrica):

$f_0=\sqrt{f_L f_H}=\sqrt{200\times2000}=\sqrt{400\,000}=632\ \text{Hz}.$

Il passa-banda lascia passare solo le frequenze tra $f_L$ e $f_H$ , attenuando sopra e sotto. La media geometrica (non aritmetica) dà il centro su scala logaritmica.

7. Dimensionamento di un passa-basso RC

Esercizio. Progettare un passa-basso RC con frequenza di taglio $f_t=2\ \text{kHz}$ usando $C=10\ \text{nF}$ . Calcolare $R$ .

La frequenza di taglio è:

f_t=\dfrac{1}{2\pi RC}.

Isoliamo $R$ :

R=\dfrac{1}{2\pi f_t C}.

Sostituendo:

R=\dfrac{1}{2\pi\cdot2000\cdot10\times10^{-9}}.

Calcolando:

R\approx7{,}96\ \text{k}\Omega.

Valore commerciale vicino:

\boxed{R\approx8{,}2\ \text{k}\Omega}.

Con il valore commerciale la frequenza reale sarà leggermente diversa: in progetto si verifica sempre la tolleranza dei componenti.

8. Fase al taglio

Esercizio. Qual è lo sfasamento di un passa-basso RC alla frequenza di taglio?

La funzione di trasferimento del passa-basso RC è:

H(j\omega)=\dfrac{1}{1+j\omega RC}.

La fase è:

\varphi=-\arctan(\omega RC).

Alla frequenza di taglio:

\omega_t RC=1.

Quindi:

\varphi(f_t)=-\arctan(1)=-45^\circ.

Risultato:

\boxed{\varphi(f_t)=-45^\circ}.

Il punto di taglio non riguarda solo il modulo a $-3\,$ dB: introduce anche uno sfasamento significativo.

9. Cascata di due filtri del primo ordine

Esercizio. Due passa-basso RC identici hanno entrambi $f_t=1\ \text{kHz}$ . Qual è il guadagno complessivo a $f=f_t$ , assumendo stadi non caricati?

Un singolo stadio al taglio ha:

|G_1|=\dfrac{1}{\sqrt2}.

In cascata, i moduli si moltiplicano:

|G_{tot}|=|G_1|^2=\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2=\dfrac{1}{2}.

In decibel:

20\log_{10}(0{,}5)\approx-6\ \text{dB}.

Risultato:

\boxed{|G_{tot}|=0{,}5\quad(-6\ \text{dB})}.

Attenzione: la frequenza in cui la cascata complessiva vale $-3\,$ dB non coincide più con il taglio di ciascun singolo stadio.

10. Filtro RL passa-basso

Esercizio. Un filtro RL passa-basso ha uscita sulla resistenza, $R=100\ \Omega$ e $L=10\ \text{mH}$ . Calcolare la frequenza di taglio.

Per un circuito RL del primo ordine:

f_t=\dfrac{R}{2\pi L}.

Sostituendo:

f_t=\dfrac{100}{2\pi\cdot10\times10^{-3}}.

Quindi:

f_t\approx1592\ \text{Hz}\approx1{,}6\ \text{kHz}.

Risultato:

\boxed{f_t\approx1{,}6\ \text{kHz}}.

Nei filtri RL il parametro chiave è il rapporto $L/R$ , non il prodotto $RC$ . Aumentare $L$ abbassa il taglio, aumentare $R$ lo alza.

11. Fattore di qualità di un passa-banda

Esercizio. Un passa-banda ha $f_0=1\ \text{kHz}$ e larghezza di banda $B=100\ \text{Hz}$ . Calcolare il fattore di qualità.

Il fattore di qualità è:

Q=\dfrac{f_0}{B}.

Sostituendo:

Q=\dfrac{1000}{100}=10.

Risultato:

\boxed{Q=10}.

Un $Q$ alto indica una banda stretta attorno alla frequenza centrale; un $Q$ basso indica un filtro più largo e meno selettivo.

Errori comuni

Identificare il filtro dal componente. Non è R o C a fare il passa-basso/alto, ma da dove si preleva l’uscita: su C → passa-basso, su R → passa-alto.
Usare $\log$ naturale per i dB. I decibel usano $\log_{10}$ : $20\log_{10}|G|$ .
Confondere media aritmetica e geometrica. La frequenza centrale di un passa-banda è $\sqrt{f_L f_H}$ , non $(f_L+f_H)/2$ .
Dimenticare la pendenza del primo ordine. $-20\,$ dB/decade è il massimo per un singolo RC; per pendenze maggiori servono più stadi.
Ignorare carico e cascata. Due stadi in cascata moltiplicano guadagni e fasi; se non sono bufferizzati possono anche caricarsi a vicenda.