Amplificatore operazionale: esercizi svolti

L’amplificatore operazionale (op-amp) è il blocco analogico più versatile: con poche resistenze realizza amplificatori, sommatori, integratori e comparatori. L’analisi si basa su due regole dell’op-amp ideale retroazionato. Questa scheda allena le configurazioni fondamentali.

Regole dell’op-amp ideale (con retroazione negativa):

cortocircuito virtuale: $V_+=V_-$ (le tensioni d’ingresso si eguagliano);
correnti d’ingresso nulle: $I_+=I_-=0$ (impedenza d’ingresso infinita).

1. Configurazione invertente

Esercizio. Amplificatore invertente con $R_1=2\ \text{k}\Omega$ (ingresso) e $R_f=20\ \text{k}\Omega$ (retroazione). Calcolare il guadagno e l’uscita per $V_{in}=0{,}3\ \text{V}$ .

Con $V_+=0$ e cortocircuito virtuale $V_-=0$ (massa virtuale), la corrente da $V_{in}$ scorre tutta in $R_f$ :

$A=-\dfrac{R_f}{R_1}=-\dfrac{20}{2}=-10.$

$V_{out}=A\,V_{in}=-10\times0{,}3=-3{,}0\ \text{V}.$

Il segno meno indica inversione di fase. Il guadagno dipende solo dal rapporto delle resistenze.

2. Configurazione non invertente

Esercizio. Amplificatore non invertente con $R_1=1\ \text{k}\Omega$ (verso massa) e $R_f=4\ \text{k}\Omega$ . Calcolare il guadagno e l’uscita per $V_{in}=0{,}5\ \text{V}$ .

$A=1+\dfrac{R_f}{R_1}=1+\dfrac{4}{1}=5.$

$V_{out}=5\times0{,}5=2{,}5\ \text{V}.$

Il guadagno non invertente è sempre $\ge1$ e mantiene la fase. L’impedenza d’ingresso è altissima (ideale per non caricare la sorgente).

3. Inseguitore di tensione (buffer)

Esercizio. Cosa fa un non invertente con $R_f=0$ e $R_1=\infty$ ?

Sostituendo nel guadagno non invertente:

$A=1+\dfrac{0}{\infty}=1\ \Rightarrow\ V_{out}=V_{in}.$

È un buffer (inseguitore): guadagno unitario, ma impedenza d’ingresso infinita e d’uscita nulla. Serve a “isolare” stadi, evitando che il carico alteri la sorgente.

4. Sommatore invertente

Esercizio. Sommatore invertente con $R_f=10\ \text{k}\Omega$ , ingressi $V_1=1\ \text{V}$ su $R_1=10\ \text{k}\Omega$ e $V_2=2\ \text{V}$ su $R_2=5\ \text{k}\Omega$ . Calcolare $V_{out}$ .

Per la massa virtuale le correnti si sommano nel nodo:

$V_{out}=-\left(\dfrac{R_f}{R_1}V_1+\dfrac{R_f}{R_2}V_2\right)=-\left(\dfrac{10}{10}\times1+\dfrac{10}{5}\times2\right)=-(1+4)=-5\ \text{V}.$

Ogni ingresso è pesato dal proprio rapporto $R_f/R_i$ : il sommatore esegue una combinazione lineare, base dei convertitori D/A a resistori pesati.

5. Integratore

Esercizio. Integratore con $R=100\ \text{k}\Omega$ e $C=1\ \mu\text{F}$ . Se all’ingresso si applica un gradino costante $V_{in}=1\ \text{V}$ , qual è la pendenza dell’uscita?

L’integratore sostituisce $R_f$ con un condensatore:

$V_{out}(t)=-\dfrac{1}{RC}\int V_{in}\,dt.$

Con $V_{in}$ costante l’uscita è una rampa di pendenza:

$\dfrac{dV_{out}}{dt}=-\dfrac{V_{in}}{RC}=-\dfrac{1}{100\,000\times1\times10^{-6}}=-\dfrac{1}{0{,}1}=-10\ \text{V/s}.$

L’uscita cala di $10\ \text{V}$ al secondo. L’integratore trasforma un gradino in una rampa: usato in generatori di forme d’onda e regolatori.

6. Amplificatore differenziale

Esercizio. Differenziale con tutte le resistenze uguali $R=10\ \text{k}\Omega$ , ingressi $V_1=3\ \text{V}$ (invertente) e $V_2=5\ \text{V}$ (non invertente). Calcolare $V_{out}$ .

Con resistenze uguali il differenziale calcola la differenza:

$V_{out}=\dfrac{R_f}{R_1}(V_2-V_1)=1\times(5-3)=2\ \text{V}.$

Amplifica solo la differenza dei due ingressi, reiettando il segnale comune (CMRR alto): è la base degli amplificatori da strumentazione e dell’acquisizione di segnali deboli su fondo rumoroso.

7. Saturazione dell’uscita

Esercizio. Un amplificatore invertente ha guadagno $A=-20$ , ingresso $V_{in}=0{,}8\ \text{V}$ e alimentazione $\pm12\ \text{V}$ . Quale uscita reale si ottiene?

Il valore ideale sarebbe:

V_{out,ideale}=A V_{in}=-20\cdot0{,}8=-16\ \text{V}.

Ma l’op-amp è alimentato a $\pm12\ \text{V}$ , quindi l’uscita non può scendere sotto circa $-12\ \text{V}$ .

Risultato:

\boxed{V_{out}\approx -12\ \text{V}\ \text{(saturazione negativa)}}.

Le formule ideali valgono finché l’uscita richiesta resta dentro i limiti imposti dall’alimentazione e dal tipo di op-amp.

8. Prodotto guadagno-banda

Esercizio. Un op-amp ha prodotto guadagno-banda $GBW=1\ \text{MHz}$ . Se viene configurato con guadagno non invertente $A=100$ , stimare la banda passante.

Per un op-amp a singolo polo:

B\approx\dfrac{GBW}{A}.

Sostituendo:

B=\dfrac{1\ \text{MHz}}{100}=10\ \text{kHz}.

Risultato:

\boxed{B\approx10\ \text{kHz}}.

Aumentare il guadagno riduce la banda disponibile. Questo è uno dei limiti reali più importanti rispetto al modello ideale.

9. Amplificatore transimpedenza

Esercizio. Un fotodiodo genera una corrente $I_{in}=10\ \mu\text{A}$ verso il nodo invertente di un op-amp con resistenza di retroazione $R_f=100\ \text{k}\Omega$ . Calcolare l’uscita.

Nel transimpedenza, il nodo invertente è a massa virtuale e la corrente del sensore attraversa $R_f$ . La relazione è:

V_{out}=-R_f I_{in}.

Sostituendo:

V_{out}=-100\,000\cdot10\times10^{-6}=-1\ \text{V}.

Risultato:

\boxed{V_{out}=-1\ \text{V}}.

Il circuito converte corrente in tensione. È la configurazione tipica per fotodiodi, sensori di corrente e ingressi ad altissima impedenza.

10. Comparatore senza retroazione negativa

Esercizio. Un op-amp usato come comparatore ha $V_+=2{,}1\ \text{V}$ e $V_-=2{,}0\ \text{V}$ , con alimentazione $0$ - $5\ \text{V}$ . Quale stato assume l’uscita?

Senza retroazione negativa non si applica il cortocircuito virtuale. L’op-amp amplifica enormemente la differenza:

V_+-V_-=0{,}1\ \text{V}>0.

L’uscita va verso il livello alto:

\boxed{V_{out}\approx5\ \text{V}}.

Se invece $V_+<V_-$ , l’uscita andrebbe verso il livello basso. Il comparatore lavora in saturazione controllata, non in regime lineare.

11. Sommatore come media pesata

Esercizio. Un sommatore invertente ha $R_f=10\ \text{k}\Omega$ e tre ingressi ciascuno su $R=30\ \text{k}\Omega$ : $V_1=1\ \text{V}$ , $V_2=2\ \text{V}$ , $V_3=5\ \text{V}$ . Calcolare $V_{out}$ .

La formula è:

V_{out}=-R_f\left(\dfrac{V_1}{R}+\dfrac{V_2}{R}+\dfrac{V_3}{R}\right).

Poiché le tre resistenze sono uguali:

V_{out}=-\dfrac{R_f}{R}(V_1+V_2+V_3).

Sostituendo:

V_{out}=-\dfrac{10}{30}(1+2+5) = -\dfrac{1}{3}\cdot8 = -2{,}67\ \text{V}.

Il circuito calcola una somma scalata. Se si volesse una media positiva, servirebbe un secondo stadio invertente o una topologia non invertente.

Errori comuni

Dimenticare il segno nell’invertente. Il guadagno invertente è $-R_f/R_1$ : il meno è parte del risultato.
Confondere i guadagni delle due configurazioni. Invertente $-R_f/R_1$ ; non invertente $1+R_f/R_1$ (sempre $\ge1$ ).
Ignorare la massa virtuale. Nell’invertente $V_-=0$ : è la chiave per scrivere le correnti di nodo.
Usare l’op-amp ideale fuori dalla retroazione. Le due regole valgono con retroazione negativa; senza, l’op-amp satura (comparatore).
Dimenticare alimentazione e banda. Anche con formule corrette, uscita e frequenza possono essere impossibili per l’op-amp reale.