La legge di Hagen-Poiseuille descrive la portata di un fluido viscoso newtoniano in un tubo cilindrico rigido, in regime laminare, stazionario e pienamente sviluppato:
dove r è il raggio del tubo, L la lunghezza, \mu la viscosità dinamica e \Delta p la differenza di pressione tra ingresso e uscita.
La formula deriva dalla soluzione del moto laminare assialsimmetrico in un condotto circolare. Il profilo di velocità è parabolico:
dove r' è la distanza dall’asse del tubo. La velocità è massima al centro e nulla alla parete per la condizione di aderenza. Integrando il profilo sulla sezione si ottiene la portata Q.
La legge è fondamentale in emodinamica e meccanica dei fluidi perché mostra la dipendenza dalla quarta potenza del raggio. Piccole variazioni di calibro producono grandi variazioni di portata o resistenza:
Se il raggio si dimezza, a parità di pressione e viscosità la portata diventa un sedicesimo. Questo spiega perché stenosi, vasocostrizione, depositi o variazioni del tono vascolare abbiano effetti idraulici molto marcati.
Le ipotesi vanno ricordate: tubo rigido, sezione circolare, fluido newtoniano, flusso laminare, stazionario e pienamente sviluppato, assenza di effetti d’ingresso dominanti. Il regime laminare è collegato al numero di Reynolds:
dove D=2r. Se il flusso diventa turbolento, la relazione lineare tra \Delta p e Q non è più valida e la perdita di carico cresce in modo diverso.
Il sangue e i vasi reali violano in parte queste ipotesi: il sangue è non newtoniano nei piccoli vasi, le pareti sono elastiche, il flusso è pulsatile e la geometria vascolare è ramificata. Tuttavia la relazione resta un modello guida per arteriole, microcircolo e interpretazione del ruolo del calibro vascolare.
In impiantistica la legge è utile per capillari, microfluidica, strumenti di misura, filtri e circuiti a bassa velocità. Un errore comune è applicarla automaticamente a qualunque tubazione: prima bisogna verificare regime di moto, lunghezza sufficiente per lo sviluppo del profilo, rugosità, comprimibilità e compatibilità del fluido con l’ipotesi newtoniana.