L’emodinamica applica la meccanica dei fluidi al sistema circolatorio. La legge di Poiseuille descrive il flusso del sangue nei vasi; la resistenza vascolare e il numero di Reynolds governano la perfusione e la transizione a flusso turbolento. Questa scheda allena i calcoli fondamentali sul flusso sanguigno.
Legge di Poiseuille: \;Q=\dfrac{\pi\,\Delta P\,r^4}{8\,\mu\,L}, con Q portata, \Delta P gradiente di pressione, r raggio, \mu viscosità, L lunghezza.
1. Portata di Poiseuille
Esercizio. Un vaso ha raggio r=2\ \text{mm}, lunghezza L=0{,}1\ \text{m}, gradiente \Delta P=500\ \text{Pa}, viscosità del sangue \mu=3{,}5\times10^{-3}\ \text{Pa·s}. Calcolare la portata.
Q=\dfrac{\pi\,\Delta P\,r^4}{8\mu L}=\dfrac{\pi\times500\times(2\times10^{-3})^4}{8\times3{,}5\times10^{-3}\times0{,}1}.
Numeratore: \pi\times500\times1{,}6\times10^{-11}=2{,}51\times10^{-8}. Denominatore: 2{,}8\times10^{-3}.
Q=\dfrac{2{,}51\times10^{-8}}{2{,}8\times10^{-3}}=8{,}97\times10^{-6}\ \text{m}^3/\text{s}\approx9\ \text{mL/s}.
La portata dipende dalla quarta potenza del raggio: è la variabile più influente.
2. Dipendenza dal raggio
Esercizio. Se il raggio del vaso si dimezza (vasocostrizione), come cambia la portata a parità di pressione?
Poiché Q\propto r^4:
\dfrac{Q_2}{Q_1}=\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^4=\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{1}{16}.
Dimezzare il raggio riduce la portata a 1/16. Per questo piccole variazioni di calibro dei vasi (regolate dalla muscolatura liscia) controllano enormemente il flusso: è il meccanismo della regolazione della pressione.
3. Resistenza vascolare
Esercizio. Per il vaso del punto 1 (\Delta P=500\ \text{Pa}, Q=9\times10^{-6}\ \text{m}^3/\text{s}), calcolare la resistenza idraulica.
In analogia alla legge di Ohm (\Delta P=Q\,R):
R=\dfrac{\Delta P}{Q}=\dfrac{500}{9\times10^{-6}}=5{,}6\times10^{7}\ \text{Pa·s/m}^3.
La resistenza vascolare è il rapporto pressione/portata. Dalla Poiseuille, R=\dfrac{8\mu L}{\pi r^4}: cresce con la viscosità e la lunghezza, e crolla col raggio alla quarta.
4. Resistenze in serie e parallelo
Esercizio. Come si combinano le resistenze vascolari nei letti capillari?
Le resistenze vascolari seguono le stesse regole dei circuiti elettrici:
- in serie (vasi consecutivi): R_{tot}=R_1+R_2+\dots;
- in parallelo (capillari affiancati): \dfrac{1}{R_{tot}}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dots
I capillari, pur avendo singolarmente alta resistenza (raggio minimo), sono in parallelo in numero enorme: la resistenza complessiva del letto capillare risulta bassa. È il motivo per cui il sangue li attraversa facilmente.
5. Numero di Reynolds nel sangue
Esercizio. Nell’aorta (r=12\ \text{mm}, velocità v=0{,}4\ \text{m/s}, densità \rho=1060\ \text{kg/m}^3, \mu=3{,}5\times10^{-3}\ \text{Pa·s}), calcolare il numero di Reynolds (diametro D=2r).
Re=\dfrac{\rho\,v\,D}{\mu}=\dfrac{1060\times0{,}4\times0{,}024}{3{,}5\times10^{-3}}=\dfrac{10{,}2}{3{,}5\times10^{-3}}=2900.
Re\approx2900: vicino alla soglia di transizione (Re\approx2000\text{–}2300). Nell’aorta il flusso può diventare turbolento durante il picco sistolico, mentre nei piccoli vasi resta sempre laminare (Re basso).
6. Stenosi e velocità (continuità)
Esercizio. Un vaso con raggio r_1=3\ \text{mm} e velocità v_1=0{,}2\ \text{m/s} si restringe (stenosi) a r_2=1{,}5\ \text{mm}. Calcolare la velocità nella stenosi.
Per la conservazione della portata (A_1v_1=A_2v_2, con A\propto r^2):
v_2=v_1\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2=0{,}2\times\left(\dfrac{3}{1{,}5}\right)^2=0{,}2\times4=0{,}8\ \text{m/s}.
Dimezzando il raggio, la velocità quadruplica. La stenosi accelera il sangue (e per Bernoulli abbassa la pressione locale): l’alta velocità può innescare turbolenza e soffi udibili allo stetoscopio.
7. Conversione pressione-portata in unità cliniche
Esercizio. Una caduta di pressione di 40\ \text{mmHg} sostiene una portata Q=5\ \text{L/min}. Calcolare la resistenza in \text{mmHg·min/L} e in unità SI.
In unità cliniche:
Convertiamo in SI:
Quindi:
Le unità cliniche sono compatte, ma nei modelli fisici servono le unità SI. La conversione evita errori nei simulatori e nei calcoli di dispositivi biomedicali.
8. Tensione di taglio alla parete
Esercizio. Per il vaso del punto 1, con \Delta P=500\ \text{Pa}, r=2\ \text{mm} e L=0{,}1\ \text{m}, calcolare la tensione di taglio alla parete.
Nel flusso di Poiseuille:
Sostituendo:
La parete vascolare non “sente” solo la pressione: sente anche il taglio dovuto al gradiente di velocità. Lo shear stress regola risposte endoteliali, rimodellamento vascolare e sviluppo di patologie.
9. Compliance vascolare
Esercizio. Un tratto arterioso aumenta il proprio volume di \Delta V=2\ \text{mL} quando la pressione sale di \Delta P=40\ \text{mmHg}. Calcolare la compliance.
Una compliance alta significa vaso distensibile: a pari aumento di pressione immagazzina più volume. Nelle arterie rigide la compliance diminuisce, la pressione pulsatoria aumenta e il carico sul cuore cresce.
Errori comuni
- Trascurare la quarta potenza del raggio. Q\propto r^4: il raggio è di gran lunga la variabile dominante nel flusso.
- Usare il raggio invece del diametro in Reynolds. Re usa il diametro D=2r: usare r dimezza il valore.
- Confondere portata e velocità. La portata Q si conserva nelle stenosi; la velocità aumenta dove la sezione si riduce.
- Sommare male le resistenze. I capillari in parallelo (tanti) danno resistenza bassa, nonostante ciascuno abbia raggio minimo.
- Mescolare mmHg, litri e SI. Le formule fisiche richiedono unità coerenti: convertire prima di sostituire.
- Ignorare lo shear stress. Pressione e portata non descrivono da sole il carico meccanico sulla parete vascolare.