La biomeccanica dei tessuti applica i concetti della meccanica dei materiali a ossa, tendini e cartilagini. Tensione, deformazione e modulo elastico descrivono come i tessuti rispondono ai carichi; la viscoelasticità ne cattura il comportamento tempo-dipendente. Questa scheda allena i calcoli fondamentali sui materiali biologici.
Legge di Hooke: \;\sigma=E\,\varepsilon, con \sigma tensione, \varepsilon deformazione, E modulo elastico.
1. Tensione meccanica
Esercizio. Un tendine di sezione A=80\ \text{mm}^2 sopporta una forza F=400\ \text{N}. Calcolare la tensione.
La tensione è forza su area:
\sigma=\dfrac{F}{A}=\dfrac{400}{80\times10^{-6}}=5{,}0\times10^{6}\ \text{Pa}=5{,}0\ \text{MPa}.
La tensione misura il carico per unità di superficie: a parità di forza, una sezione minore dà tensione maggiore (rischio di rottura).
2. Deformazione
Esercizio. Lo stesso tendine, lungo inizialmente L_0=200\ \text{mm}, si allunga di \Delta L=3\ \text{mm}. Calcolare la deformazione.
La deformazione è l’allungamento relativo (adimensionale):
\varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L_0}=\dfrac{3}{200}=0{,}015=1{,}5\%.
La deformazione è sempre senza unità: esprime quanto il tessuto si allunga rispetto alla lunghezza iniziale.
3. Modulo elastico
Esercizio. Per il tendine dei punti 1-2 (\sigma=5{,}0\ \text{MPa}, \varepsilon=0{,}015), calcolare il modulo elastico.
Dalla legge di Hooke \sigma=E\varepsilon:
E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}=\dfrac{5{,}0\times10^{6}}{0{,}015}=3{,}3\times10^{8}\ \text{Pa}=330\ \text{MPa}.
Il modulo elastico misura la rigidezza: maggiore E, meno il tessuto si deforma a parità di carico. Valore tipico per un tendine, molto inferiore a quello dell’osso.
4. Confronto osso–tendine
Esercizio. L’osso ha E\approx18\ \text{GPa}, il tendine \approx0{,}33\ \text{GPa}. A parità di tensione, quale si deforma di più?
A parità di \sigma, la deformazione è inversa al modulo:
\dfrac{\varepsilon_{tendine}}{\varepsilon_{osso}}=\dfrac{E_{osso}}{E_{tendine}}=\dfrac{18}{0{,}33}=55.
Il tendine si deforma circa 55 volte più dell’osso sotto lo stesso carico: è elastico e cedevole, l’osso rigido. Questa differenza è funzionale: il tendine assorbe e restituisce energia, l’osso sostiene.
5. Allungamento sotto carico
Esercizio. Un legamento (E=200\ \text{MPa}, A=50\ \text{mm}^2, L_0=100\ \text{mm}) sopporta F=250\ \text{N}. Calcolare l’allungamento.
Passo 1 — tensione: \sigma=F/A=250/(50\times10^{-6})=5{,}0\ \text{MPa}.
Passo 2 — deformazione: \varepsilon=\sigma/E=5{,}0/200=0{,}025.
Passo 3 — allungamento: \Delta L=\varepsilon L_0=0{,}025\times100=2{,}5\ \text{mm}.
L’allungamento si ottiene combinando tensione, modulo e geometria: \Delta L=\dfrac{FL_0}{AE}. È la deformazione applicata alla lunghezza iniziale.
6. Viscoelasticità: creep e rilassamento
Esercizio. Spiegare i comportamenti di creep e rilassamento dei tessuti viscoelastici.
I tessuti biologici sono viscoelastici: la risposta dipende dal tempo, non solo dal carico.
- Creep: sotto carico costante, la deformazione aumenta lentamente nel tempo (il tessuto “cede”);
- Rilassamento delle tensioni: a deformazione costante, la tensione diminuisce nel tempo.
A differenza di un materiale puramente elastico (Hooke, risposta istantanea e costante), il tessuto combina elasticità e viscosità. È il motivo per cui l’allungamento muscolare prolungato è più efficace di uno breve.
7. Rigidezza assiale di un legamento
Esercizio. Per il legamento del punto 5 (E=200\ \text{MPa}, A=50\ \text{mm}^2, L_0=100\ \text{mm}), calcolare la rigidezza assiale k e verificare l’allungamento sotto F=250\ \text{N}.
La rigidezza assiale è:
L’allungamento si ottiene da \Delta L=F/k:
È lo stesso risultato del punto 5, scritto in forma di molla lineare. La rigidezza non è una proprietà del solo materiale: dipende anche da sezione e lunghezza.
8. Energia elastica immagazzinata
Esercizio. Usando il legamento del punto 7, calcolare l’energia elastica immagazzinata quando è caricato a 250\ \text{N} e si allunga di 2{,}5\ \text{mm}.
Per comportamento lineare:
La stessa energia si può scrivere come:
I tendini e i legamenti non servono solo a trasmettere carico: immagazzinano e restituiscono energia, con perdite viscoelastiche che dipendono dalla velocità e dalla storia di carico.
9. Fattore di sicurezza a rottura
Esercizio. Il tendine del punto 1 lavora a \sigma=5{,}0\ \text{MPa}. Se la tensione ultima a trazione è \sigma_u=60\ \text{MPa}, calcolare il fattore di sicurezza.
Il margine statico è elevato, ma non basta a garantire sicurezza biologica: fatica, microlesioni, velocità di carico, età e idratazione possono ridurre drasticamente la resistenza effettiva. Nei tessuti viventi la verifica a rottura istantanea è solo il primo filtro.
Errori comuni
- Confondere tensione e forza. La tensione è forza per unità di area (\sigma=F/A): la sezione conta.
- Dare unità alla deformazione. \varepsilon=\Delta L/L_0 è adimensionale (o in %): non ha unità di lunghezza.
- Trattare i tessuti come puramente elastici. Sono viscoelastici: la risposta dipende dal tempo (creep, rilassamento).
- Invertire il ruolo del modulo. E alto = tessuto rigido (si deforma poco); E basso = cedevole.
- Confondere modulo e rigidezza. Il modulo E è del materiale; la rigidezza k=EA/L dipende anche dalla geometria.
- Usare solo la rottura statica. I tessuti possono danneggiarsi per fatica o carico rapido anche con tensioni inferiori alla resistenza ultima.