Z-Transform (Trasformata Z)

La Trasformata Z è l’equivalente per i segnali a tempo discreto di ciò che la Trasformata di Laplace è per i segnali a tempo continuo. È lo strumento matematico fondamentale per l’analisi dei sistemi digitali e dell’elaborazione numerica dei segnali (DSP).

Data una sequenza discreta $x[n]$, la sua trasformata Z è definita come:

$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

Dove $z$ è una variabile complessa.

Importanza ingegneristica:

• Analisi di stabilità: permette di determinare se un filtro digitale o un sistema di controllo è stabile analizzando la posizione dei “poli” nel piano complesso (devono trovarsi all’interno del cerchio unitario).
• Equazioni alle differenze: trasforma operazioni complesse di ritardo e differenza in semplici operazioni algebriche, facilitando la sintesi di algoritmi di controllo.
• Filtri Digitali: è la base per la progettazione di filtri FIR e IIR utilizzati in ogni dispositivo audio, smartphone e sistema di comunicazione moderno.

Tavola delle Trasformate Notevoli

$x[n]$	$X(z)$	ROC
$\delta[n]$	$1$	Tutto $\mathbb{C}$
$u[n]$ (gradino)	$\frac{z}{z-1}$	$\lvert z\rvert>1$
$a^n u[n]$	$\frac{z}{z-a}$	$\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$
$n\,a^n u[n]$	$\frac{az}{(z-a)^2}$	$\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$
$\cos(\omega_0 n)u[n]$	$\frac{z(z-\cos\omega_0)}{z^2-2z\cos\omega_0+1}$	$\lvert z\rvert>1$

Proprietà Fondamentali

• Traslazione temporale: $\mathcal{Z}\{x[n-k]\} = z^{-k}X(z)$
• Convoluzione: $\mathcal{Z}\{(x*h)[n]\} = X(z)H(z)$
• Derivazione in $z$: $\mathcal{Z}\{n\,x[n]\} = -z\frac{dX}{dz}$

Antitrasformata Z

In pratica si usa la decomposizione in fratti semplici di $X(z)/z$, poi si moltiplica per $z$ e si riconosce ogni termine dalla tavola.

Equazioni alle Differenze

La trasformata Z converte un’equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti in un’equazione algebrica in $z$: $\sum_{k=0}^N a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^M b_k x[n-k] \quad\xrightarrow{\mathcal{Z}}\quad A(z)Y(z) = B(z)X(z)$

La funzione di trasferimento $H(z) = B(z)/A(z)$ caratterizza completamente il sistema lineare tempo-invariante discreto.