La Trasformata Z è l’equivalente per i segnali a tempo discreto di ciò che la Trasformata di Laplace è per i segnali a tempo continuo. È lo strumento matematico fondamentale per l’analisi dei sistemi digitali e dell’elaborazione numerica dei segnali (DSP).
Data una sequenza discreta x[n], la sua trasformata Z è definita come:
X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}
Dove z è una variabile complessa.
Importanza ingegneristica:
- Analisi di stabilità: permette di determinare se un filtro digitale o un sistema di controllo è stabile analizzando la posizione dei “poli” nel piano complesso (devono trovarsi all’interno del cerchio unitario).
- Equazioni alle differenze: trasforma operazioni complesse di ritardo e differenza in semplici operazioni algebriche, facilitando la sintesi di algoritmi di controllo.
- Filtri Digitali: è la base per la progettazione di filtri FIR e IIR utilizzati in ogni dispositivo audio, smartphone e sistema di comunicazione moderno.
Tavola delle Trasformate Notevoli
| x[n] | X(z) | ROC |
|---|---|---|
| \delta[n] | 1 | Tutto \mathbb{C} |
| u[n] (gradino) | \frac{z}{z-1} | \lvert z\rvert>1 |
| a^n u[n] | \frac{z}{z-a} | \lvert z\rvert>\lvert a\rvert |
| n\,a^n u[n] | \frac{az}{(z-a)^2} | \lvert z\rvert>\lvert a\rvert |
| \cos(\omega_0 n)u[n] | \frac{z(z-\cos\omega_0)}{z^2-2z\cos\omega_0+1} | \lvert z\rvert>1 |
Proprietà Fondamentali
- Traslazione temporale: \mathcal{Z}\{x[n-k]\} = z^{-k}X(z)
- Convoluzione: \mathcal{Z}\{(x*h)[n]\} = X(z)H(z)
- Derivazione in z: \mathcal{Z}\{n\,x[n]\} = -z\frac{dX}{dz}
Antitrasformata Z
In pratica si usa la decomposizione in fratti semplici di X(z)/z, poi si moltiplica per z e si riconosce ogni termine dalla tavola.
Equazioni alle Differenze
La trasformata Z converte un’equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti in un’equazione algebrica in z: \sum_{k=0}^N a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^M b_k x[n-k] \quad\xrightarrow{\mathcal{Z}}\quad A(z)Y(z) = B(z)X(z)