Stabilità e criterio di Routh-Hurwitz: esercizi svolti

Un sistema LTI è asintoticamente stabile se e solo se tutti i poli hanno parte reale negativa. Il criterio di Routh-Hurwitz stabilisce la stabilità senza calcolare le radici, lavorando solo sui coefficienti del polinomio caratteristico: è insostituibile quando il polinomio dipende da un parametro (es. il guadagno del regolatore).

Regola di lettura: il numero di cambi di segno nella prima colonna della tabella di Routh è uguale al numero di poli a parte reale positiva (instabili).

1. Condizione necessaria sui coefficienti

Esercizio. Il polinomio $s^3+2s^2-s+4$ può appartenere a un sistema stabile?

Condizione necessaria (non sufficiente): per la stabilità tutti i coefficienti devono essere presenti e dello stesso segno.

Qui compare un coefficiente negativo ( $-1$ ) tra positivi: la condizione necessaria è violata.

Il sistema è sicuramente instabile, senza nemmeno costruire la tabella. Il controllo dei segni è il primo filtro, sempre rapido.

2. Tabella di Routh di un terzo ordine

Esercizio. Studiare la stabilità di $s^3+6s^2+11s+6$ .

Passo 1 — coefficienti tutti positivi: condizione necessaria soddisfatta, si procede.

Passo 2 — tabella di Routh:

\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 11\\ s^2 & 6 & 6\\ s^1 & b_1 & 0\\ s^0 & 6 & \end{array}

dove

$b_1=\dfrac{6\times11-1\times6}{6}=\dfrac{66-6}{6}=10.$

Passo 3 — prima colonna: $1,\ 6,\ 10,\ 6$ . Tutti positivi, zero cambi di segno.

Il sistema è stabile: nessun polo a parte reale positiva. (Verifica: $s^3+6s^2+11s+6=(s+1)(s+2)(s+3)$ , radici $-1,-2,-3$ .)

3. Conteggio dei poli instabili

Esercizio. Studiare $s^3+s^2+2s+8$ e dire quanti poli instabili ha.

Tabella:

\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2\\ s^2 & 1 & 8\\ s^1 & b_1 & 0\\ s^0 & 8 & \end{array}

$b_1=\dfrac{1\times2-1\times8}{1}=\dfrac{2-8}{1}=-6.$

Prima colonna: $1,\ 1,\ -6,\ 8$ . I segni sono $+,+,-,+$ : due cambi di segno ( $+\to-$ e $-\to+$ ).

Il sistema ha due poli a parte reale positiva → instabile, con una coppia di poli complessi nel semipiano destro.

4. Guadagno critico di un anello in retroazione

Esercizio. Un anello a retroazione unitaria ha funzione d’anello $L(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ . Trovare il valore di $K$ che porta il sistema al limite di stabilità.

Passo 1 — polinomio caratteristico ( $1+L(s)=0$ ):

$s(s+1)(s+2)+K=s^3+3s^2+2s+K=0.$

Passo 2 — tabella di Routh:

\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2\\ s^2 & 3 & K\\ s^1 & b_1 & 0\\ s^0 & K & \end{array} \qquad b_1=\dfrac{3\times2-1\times K}{3}=\dfrac{6-K}{3}.

Passo 3 — condizioni di stabilità. Tutta la prima colonna positiva richiede:

$K>0\quad\text{e}\quad\dfrac{6-K}{3}>0\ \Rightarrow\ K<6.$

Quindi il sistema è stabile per $0<K<6$ . Il guadagno critico è $K_c=6$ .

5. Pulsazione delle oscillazioni al limite

Esercizio. Per $K=K_c=6$ nel sistema del punto 4, trovare la pulsazione delle oscillazioni sostenute.

Al limite di stabilità la riga $s^1$ si annulla: i poli sono sull’asse immaginario. Si usa la riga superiore $s^2$ come polinomio ausiliario:

$3s^2+K=0\ \Rightarrow\ 3s^2+6=0\ \Rightarrow\ s^2=-2\ \Rightarrow\ s=\pm j\sqrt2.$

Il sistema oscilla a $\omega=\sqrt2\approx1{,}41\ \text{rad/s}$ . È l’oscillazione che si osserva proprio al guadagno critico, dato chiave per la taratura di Ziegler-Nichols.

semipiano stabile: Re(s)<0
semipiano instabile: Re(s)>0

Al guadagno critico Kc=6 i poli arrivano sull’asse immaginario: non sono nel semipiano destro, ma non sono nemmeno asintoticamente stabili. Il risultato è un’oscillazione sostenuta.

6. Caso dello zero nella prima colonna

Esercizio. Cosa fare se nella prima colonna compare uno zero con elementi non nulli a fianco?

Uno zero nella prima colonna (con resto di riga non nullo) blocca il calcolo del termine successivo. Si sostituisce lo zero con un $\varepsilon>0$ infinitesimo, si completa la tabella e si studia il segno per $\varepsilon\to0^+$ .

Se i segni cambiano attorno a $\varepsilon$ , ci sono poli instabili; lo zero segnala in genere poli sull’asse immaginario o nel semipiano destro. È il caso “singolare” da gestire con attenzione, non un’eccezione alla regola dei cambi di segno.

7. Riga intera nulla

Esercizio. Cosa indica una riga interamente nulla nella tabella di Routh?

Una riga tutta nulla segnala la presenza di radici simmetriche rispetto all’origine (coppie $\pm s$ o $\pm j\omega$ ): tipicamente poli sull’asse immaginario. Si forma il polinomio ausiliario dalla riga superiore, lo si deriva e si usano i coefficienti della derivata per proseguire.

Le radici del polinomio ausiliario sono esattamente quelle simmetriche: spesso indicano un sistema al limite di stabilità (oscillatore), non asintoticamente stabile.

8. Stabilità con parametro in due condizioni

Esercizio. Per $s^3+(2+a)s^2+3s+(1+a)$ con $a>0$ parametro, verificare la stabilità.

Tabella:

\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 3\\ s^2 & 2+a & 1+a\\ s^1 & b_1 & 0\\ s^0 & 1+a & \end{array}

$b_1=\dfrac{(2+a)\times3-1\times(1+a)}{2+a}=\dfrac{6+3a-1-a}{2+a}=\dfrac{5+2a}{2+a}.$

Condizioni: per $a>0$ si ha $2+a>0$ , $1+a>0$ e $b_1=\dfrac{5+2a}{2+a}>0$ sempre.

Il sistema è stabile per ogni $a>0$ : l’aumento del parametro non destabilizza. Routh permette di concludere su un intero intervallo di valori senza risolvere il polinomio.

Errori comuni

Saltare il controllo dei segni. Coefficienti mancanti o di segno discorde implicano già instabilità: è il filtro rapido prima di ogni tabella.
Contare male i cambi di segno. Il numero di poli instabili è il numero di cambi di segno nella prima colonna, non il numero di elementi negativi.
Dividere per uno zero. Quando compare uno zero in prima colonna serve il metodo dell’ $\varepsilon$ ; proseguire ingenuamente porta a divisioni non definite.
Confondere stabilità asintotica e limite. Poli sull’asse immaginario (riga nulla, guadagno critico) danno oscillazioni sostenute: il sistema è al limite, non asintoticamente stabile.