I poli e gli zeri sono le radici, rispettivamente, del denominatore e del numeratore della funzione di trasferimento di un sistema. Sono i numeri (in generale complessi) che ne riassumono il comportamento dinamico: dalla loro posizione nel piano complesso si leggono stabilità, velocità di risposta, oscillazioni e forma della risposta in frequenza.
Data una funzione di trasferimento come rapporto di polinomi:
gli zeri sono le radici di N(s) (valori di s che annullano G), i poli sono le radici di D(s) (valori di s che rendono G infinita).
| Elemento | Definizione | Effetto principale |
|---|---|---|
| Poli | radici del denominatore | stabilità, modi della risposta |
| Zeri | radici del numeratore | modellano la risposta, possono cancellare poli |
I poli sono i protagonisti: la loro posizione determina la stabilità (tutti a parte reale negativa = stabile) e la natura della risposta. Poli reali danno modi esponenziali (decadenti se negativi); poli complessi coniugati danno modi oscillanti, con frequenza legata alla parte immaginaria e smorzamento legato alla parte reale. Un polo vicino all’asse immaginario produce una risposta lenta e poco smorzata; uno lontano a sinistra una risposta rapida e ben smorzata.
Gli zeri non determinano la stabilità ma modellano la forma della risposta: influenzano l’ampiezza dei diversi modi, possono accelerare la risposta o, se a parte reale positiva (zeri a “fase non minima”), causare comportamenti controintuitivi come la risposta che inizialmente va nella direzione sbagliata.
La rappresentazione poli-zeri nel piano complesso è uno strumento di intuizione potente: permette di “leggere” il comportamento di un sistema senza calcolarne la risposta, e di progettare regolatori spostando i poli ad anello chiuso in posizioni desiderate (tramite tecniche come il luogo delle radici). Poli e zeri sono il vocabolario di base con cui si descrive e si progetta la dinamica di ogni sistema lineare.