Il luogo delle radici (root locus) è una tecnica grafica che mostra come si spostano i poli di un sistema ad anello chiuso nel piano complesso al variare di un parametro, tipicamente il guadagno del regolatore. Poiché la posizione dei poli determina stabilità e comportamento dinamico, il luogo delle radici permette di vedere a colpo d’occhio come il parametro influenza le prestazioni e la stabilità.
Il problema che risolve: in un sistema in retroazione, i poli ad anello chiuso non coincidono con quelli ad anello aperto, e cambiano quando si varia il guadagno K. Calcolarli per ogni valore di K sarebbe laborioso; il luogo delle radici li traccia tutti come curve continue.
Il metodo, sviluppato da Walter Evans, si basa sull’equazione caratteristica dell’anello chiuso:
Le radici di questa equazione, al variare di K da zero a infinito, descrivono il luogo. Esistono regole costruttive che permettono di tracciarlo senza risolvere l’equazione per ogni valore: il luogo parte dai poli ad anello aperto (per K \to 0) e arriva agli zeri (o all’infinito) per K \to \infty, è simmetrico rispetto all’asse reale, e segue asintoti e regole precise.
L’informazione chiave è la stabilità in funzione del guadagno: finché i rami del luogo restano nel semipiano sinistro, l’anello chiuso è stabile; il punto in cui un ramo attraversa l’asse immaginario indica il guadagno critico oltre il quale il sistema diventa instabile. Inoltre la posizione dei poli lungo il luogo rivela velocità di risposta e smorzamento.
Il luogo delle radici è quindi sia uno strumento di analisi (capire come il guadagno influenza il comportamento) sia di progetto (scegliere il guadagno o aggiungere poli e zeri con un regolatore per portare i poli ad anello chiuso nella posizione desiderata). Insieme ai diagrammi di Bode e al criterio di Nyquist, è uno dei pilastri del controllo classico.