Luogo delle radici: esercizi svolti

Il luogo delle radici mostra come si spostano i poli dell’anello chiuso al variare del guadagno $K$ da $0$ a $\infty$ . È uno strumento di sintesi: permette di scegliere $K$ (o di aggiungere poli/zeri al regolatore) per posizionare i poli dove servono, controllando stabilità e smorzamento. Questa scheda applica le regole di tracciamento a casi tipici.

Equazione caratteristica: $\;1+K\,G(s)=0$ , con $K\ge0$ . I rami partono dai poli di $G(s)$ (per $K=0$ ) e arrivano agli zeri o all’infinito (per $K\to\infty$ ).

1. Numero di rami

Esercizio. Per $G(s)=\dfrac{1}{s(s+2)(s+4)}$ , quanti rami ha il luogo?

Il numero di rami è pari al numero di poli (grado del denominatore):

$\text{rami}=3\quad(\text{poli in } 0,\ -2,\ -4).$

Tre poli, nessuno zero finito: tutti e tre i rami divergono all’infinito al crescere di $K$ .

2. Rami sull’asse reale

Esercizio. Per lo stesso $G(s)$ , individuare i tratti di asse reale che appartengono al luogo.

Regola: un punto dell’asse reale appartiene al luogo se alla sua destra c’è un numero dispari di poli e zeri reali.

Poli reali in $0,\ -2,\ -4$ :

tra $0$ e $-2$ : alla destra 1 polo (in 0) → dispari → appartiene;
tra $-2$ e $-4$ : alla destra 2 poli → pari → no;
a sinistra di $-4$ : alla destra 3 poli → dispari → appartiene.

Il luogo sull’asse reale è dunque $[-2,0]\cup(-\infty,-4]$ .

3. Asintoti: numero e angoli

Esercizio. Per $G(s)=\dfrac{1}{s(s+2)(s+4)}$ , calcolare numero e angoli degli asintoti.

Il numero di asintoti è $n-m$ (poli meno zeri finiti):

$n-m=3-0=3.$

Angoli degli asintoti:

$\theta_k=\dfrac{(2k+1)\,180^\circ}{n-m}=\dfrac{180^\circ}{3}(2k+1),\quad k=0,1,2\ \Rightarrow\ 60^\circ,\ 180^\circ,\ 300^\circ.$

Tre asintoti a $60^\circ$ , $180^\circ$ , $-60^\circ$ : due rami divergono verso il semipiano destro, segnale che il sistema diventerà instabile per $K$ sufficientemente grande.

4. Baricentro degli asintoti

Esercizio. Calcolare il baricentro (centroide) degli asintoti per lo stesso sistema.

Il baricentro sta sull’asse reale in:

$\sigma_a=\dfrac{\sum\text{poli}-\sum\text{zeri}}{n-m}=\dfrac{(0-2-4)-0}{3}=\dfrac{-6}{3}=-2.$

Gli asintoti partono tutti dal punto $\sigma_a=-2$ sull’asse reale. Insieme agli angoli del punto 3, questo definisce le direzioni di fuga dei rami.

5. Punto di diramazione (breakaway)

Esercizio. Per $G(s)=\dfrac{1}{s(s+2)}$ , trovare il punto in cui i due rami lasciano l’asse reale.

I rami partono da $0$ e $-2$ e si incontrano sull’asse reale prima di staccarsi. Il punto di diramazione annulla $dK/ds$ . Da $K=-s(s+2)=-(s^2+2s)$ :

$\dfrac{dK}{ds}=-(2s+2)=0\ \Rightarrow\ s=-1.$

I due rami si staccano in $s=-1$ , esattamente a metà tra i poli (atteso per simmetria), e da lì salgono verticalmente nel piano complesso. Le radici esatte dell’anello chiuso sono:

s_{1,2}(K)=-1\pm\sqrt{1-K}.

Per $0\le K\le1$ sono reali e giacciono sull’asse reale; per $K>1$ diventano $s=-1\pm j\sqrt{K-1}$ . Il sistema passa quindi da sovrasmorzato a sottosmorzato usando direttamente la formula delle radici, senza costruzioni grafiche approssimate.

radice reale sinistra, 0≤K≤1
radice reale destra, 0≤K≤1
radice complessa superiore, K>1
radice complessa inferiore, K>1

Luogo delle radici di G(s)=1/(s(s+2)) calcolato dalla formula s=-1±√(1-K). Le croci sono i poli iniziali per K=0; i rami si incontrano in s=-1 e poi diventano complessi coniugati lungo Re(s)=-1.

6. Guadagno in un punto del luogo

Esercizio. Per $G(s)=\dfrac{1}{s(s+2)}$ , quale guadagno $K$ porta i poli in $s=-1\pm j2$ ?

Il guadagno in un punto $s_0$ del luogo si ottiene dalla condizione di modulo $|K\,G(s_0)|=1$ :

$K=\dfrac{1}{|G(s_0)|}=|s_0|\,|s_0+2|.$

Con $s_0=-1+j2$ : $\;|s_0|=\sqrt{1+4}=\sqrt5$ , $\;|s_0+2|=|1+j2|=\sqrt{1+4}=\sqrt5$ :

$K=\sqrt5\times\sqrt5=5.$

Per $K=5$ i poli dell’anello chiuso sono in $-1\pm j2$ . (Verifica: $s^2+2s+5=0$ ha radici $-1\pm j2$ .) Smorzamento $\zeta=1/\sqrt5=0{,}45$ .

7. Attraversamento dell’asse immaginario

Esercizio. Per $G(s)=\dfrac{1}{s(s+2)(s+4)}$ , trovare il guadagno a cui il luogo attraversa l’asse immaginario.

L’equazione caratteristica è $s^3+6s^2+8s+K=0$ . L’attraversamento si trova con Routh al limite:

\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 8\\ s^2 & 6 & K\\ s^1 & \dfrac{48-K}{6} & 0\\ s^0 & K & \end{array}

Il limite è $\dfrac{48-K}{6}=0\Rightarrow K=48$ . La pulsazione di attraversamento dal polinomio ausiliario $6s^2+K=0$ :

$6s^2+48=0\Rightarrow s^2=-8\Rightarrow s=\pm j\sqrt8=\pm j2{,}83\ \text{rad/s}.$

Per $K>48$ due poli passano nel semipiano destro: il sistema diventa instabile. Il luogo lo mostra graficamente, Routh ne dà il valore esatto.

8. Scelta del guadagno per smorzamento assegnato

Esercizio. Per $G(s)=\dfrac{1}{s(s+2)}$ scegliere $K$ in modo che l’anello chiuso abbia $\zeta=0{,}5$ .

Passo 1 — poli desiderati. L’equazione caratteristica è $s^2+2s+K=0$ , quindi $\omega_n=\sqrt K$ e $2\zeta\omega_n=2$ , da cui:

$\zeta=\dfrac{1}{\omega_n}=\dfrac{1}{\sqrt K}.$

Passo 2 — imporre $\zeta=0{,}5$ :

$\dfrac{1}{\sqrt K}=0{,}5\ \Rightarrow\ \sqrt K=2\ \Rightarrow\ K=4.$

Per $K=4$ i poli sono $s=-1\pm j\sqrt3$ , con $\zeta=0{,}5$ e sovraelongazione $\approx16\%$ . Il luogo permette così di tradurre una specifica di smorzamento in un valore di guadagno.

Errori comuni

Sbagliare la regola dell’asse reale. Conta il numero dispari di poli e zeri reali alla destra del punto: a sinistra non conta.
Includere gli zeri nel conteggio degli asintoti. Gli asintoti sono $n-m$ ; gli zeri finiti sono punti di arrivo dei rami, non direzioni asintotiche.
Confondere breakaway e attraversamento. Il punto di diramazione ( $dK/ds=0$ ) è sull’asse reale; l’attraversamento dell’asse immaginario (limite di stabilità) si trova con Routh.
Tracciare il luogo per $K<0$ con le stesse regole. Le regole date valgono per $K\ge0$ (luogo diretto); per $K<0$ (luogo inverso) cambiano angoli e condizione sull’asse reale.