La trasformata di Laplace è lo strumento che converte le equazioni differenziali dei sistemi dinamici in equazioni algebriche nella variabile complessa s. Da qui nasce la funzione di trasferimento G(s), il modello con cui i controlli descrivono un sistema lineare tempo-invariante (LTI). Questa scheda parte dalle trasformate elementari e arriva a ricavare e interpretare G(s).
Definizione: \;G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}\; con condizioni iniziali nulle, dove U(s) è l’ingresso e Y(s) l’uscita trasformate.
1. Trasformata di un gradino
Esercizio. Calcolare la trasformata di Laplace del gradino unitario u(t) di ampiezza A.
Per definizione, \mathcal{L}\{A\}=\displaystyle\int_0^\infty A\,e^{-st}\,dt:
\mathcal{L}\{A\,u(t)\}=\dfrac{A}{s}.
Il gradino è l’ingresso di prova fondamentale: la sua trasformata A/s compare in ogni calcolo di risposta al gradino.
2. Trasformata di un esponenziale
Esercizio. Calcolare \mathcal{L}\{e^{-at}\} con a>0.
\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\int_0^\infty e^{-at}e^{-st}\,dt=\dfrac{1}{s+a}.
Il polo in s=-a corrisponde a un modo che decade con costante di tempo \tau=1/a. Questa è la base di tutta la corrispondenza poli ↔ dinamica.
3. Proprietà della derivata
Esercizio. Scrivere la trasformata di \dot y(t) e \ddot y(t) con condizioni iniziali nulle.
\mathcal{L}\{\dot y\}=sY(s)-y(0),\qquad \mathcal{L}\{\ddot y\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-\dot y(0).
Con condizioni iniziali nulle (l’ipotesi standard per la FdT): \mathcal{L}\{\dot y\}=sY(s) e \mathcal{L}\{\ddot y\}=s^2Y(s). Derivare nel tempo diventa moltiplicare per s: è ciò che algebrizza le equazioni differenziali.
4. Funzione di trasferimento da un’equazione differenziale
Esercizio. Un sistema è descritto da \ddot y+3\dot y+2y=u. Ricavare la funzione di trasferimento G(s)=Y(s)/U(s).
Passo 1 — trasformare (condizioni iniziali nulle):
s^2Y+3sY+2Y=U\ \Rightarrow\ (s^2+3s+2)\,Y=U.
Passo 2 — isolare il rapporto:
G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{1}{s^2+3s+2}.
Il denominatore s^2+3s+2 è il polinomio caratteristico: le sue radici determinano la dinamica.
5. Poli del sistema
Esercizio. Trovare i poli della G(s) del punto 4.
I poli sono le radici del denominatore:
s^2+3s+2=(s+1)(s+2)=0\ \Rightarrow\ s_1=-1,\quad s_2=-2.
Entrambi reali e negativi → il sistema è stabile, con due modi che decadono (e^{-t} ed e^{-2t}). Il polo più lento (s_1=-1, \tau=1\,s) domina la risposta.
6. Guadagno statico
Esercizio. Calcolare il guadagno statico (guadagno in continua) della G(s) del punto 4.
Il guadagno statico è il valore di G(s) a regime, cioè per s\to0:
G(0)=\dfrac{1}{0+0+2}=\dfrac{1}{2}=0{,}50.
Significato: a un gradino unitario costante in ingresso, l’uscita a regime tende a 0{,}50. È il rapporto ingresso/uscita statico del sistema.
7. Teorema del valore finale
Esercizio. Per la G(s) del punto 4 con ingresso a gradino unitario, calcolare il valore di regime dell’uscita usando il teorema del valore finale.
Il teorema del valore finale dà il limite a regime senza antitrasformare:
y(\infty)=\lim_{s\to0}s\,Y(s)=\lim_{s\to0}s\,G(s)\dfrac{1}{s}=\lim_{s\to0}G(s)=G(0)=0{,}50.
Coerente con il guadagno statico del punto 6. Il teorema vale solo se il sistema è stabile (tutti i poli a parte reale negativa): qui lo è.
8. Teorema del valore iniziale
Esercizio. Per lo stesso sistema con gradino unitario, calcolare il valore iniziale y(0^+).
y(0^+)=\lim_{s\to\infty}s\,Y(s)=\lim_{s\to\infty}\dfrac{s}{s(s^2+3s+2)}=\lim_{s\to\infty}\dfrac{1}{s^2+3s+2}=0.
L’uscita parte da zero: ha senso, perché il sistema è del secondo ordine senza azione diretta ingresso→uscita (il grado del denominatore supera quello del numeratore di 2).
Errori comuni
- Dimenticare le condizioni iniziali nulle. La funzione di trasferimento è definita solo con stato iniziale nullo; con condizioni iniziali non nulle servono i termini y(0), \dot y(0).
- Applicare il valore finale a un sistema instabile. Se un polo ha parte reale \ge0, il limite s\to0 dà un numero ma il sistema non converge: il teorema non è applicabile.
- Confondere guadagno statico e guadagno di trasferimento. Il guadagno statico è G(0), non il coefficiente del numeratore: vanno valutati a s=0.
- Sbagliare il segno dei poli. I poli di 1/(s+1) stanno in s=-1 (denominatore = 0), non in s=+1.