Il numero di Rayleigh è un parametro adimensionale (prende il nome da John William Strutt Rayleigh) che descrive il comportamento dei fluidi (come l’acqua o l’aria) quando la densità di massa del fluido non è uniforme. Esprime il rapporto tra tutte le azioni che contribuiscono positivamente al moto in un fluido (forza di galleggiamento \(F_g\)) e tutto ciò che invece si contrappone negativamente (viscosità \(\mu\) e diffusività termica \(\alpha\)):
\[Ra=\dfrac{F_g}{\mu\alpha}\]
Grazie ad esso è possibile capire se vi è moto, oppure no, in condizioni di convezione naturale; ovvero se per effetto della forza di galleggiamento conseguente al campo di densità, che a sua volta è conseguenza del campo di temperatura, si innesca oppure no il moto nel fluido. In numero di Rayleigh, per i fluidi newtoniani e fourieriani, può essere calcolato attraverso l’approssimazione di Oberbeck-Boussinesq è esprimibile come il prodotto tra il numero di Grashof ed il numero di Prandtl:
\[Ra=Gr\cdot Pr=\dfrac{g\beta_0 (T_s-T_i)L^3}{\nu\alpha_0}\]
dove: \(\beta_0\) è la dilatazione termica alla temperatura \(T_0\); \(T_s-T_i\) è la differenza di temperatura tra superficie superiore e superficie inferiore; \(g\) è il modulo dell’accelerazione di gravità; \(L\) è una dimensione lineare caratteristica del fenomeno considerato; \(\nu\) è la viscosità cinematica del materiale; \(\alpha_0\) è la diffusività termica alla temperatura \(T_0\).
Le differenze di densità di massa sono solitamente causate da differenze di temperatura. In genere un fluido si espande e diventa meno denso quando viene riscaldato. La gravità fa sì che le parti più dense del fluido affondino, fenomeno che prende il nome di convezione. Lord Rayleigh studiò il caso della convezione di Rayleigh-Bénard.
Nel caso in cui il numero di Rayleigh risulti inferiore al valore critico (pari a: 1708), le spinte di galleggiamento dovute ai gradienti di densità in seno al fluido non riescono a superare l’opposizione della viscosità cinematica: il moto dunque non si manifesta e lo scambio termico avviene per semplice conduzione. Viceversa, se Ra > 1708, le spinte sono tali da consentire il superamento della resistenza imposta dal prodotto \(\mu\alpha\) e, pertanto, il moto per convezione si manifesta: siamo in regime di convezione naturale.
In ambito industriale esistono numerose situazioni nelle quali un fluido si muove all’interno di un condotto, in regime compressibile, scambiando energia sotto forma di calore e, quindi, variando la sua entalpia totale. Tipici esempi sono gli scambiatori di calore e le camere di combustione di sistemi aperti. Il modello di moto alla Rayleigh è basato sulle seguenti ipotesi:
- il moto è quasi-unidimensionale e quasi-stazionario;
- l’area della sezione di passaggio del fluido nel condotto è ritenuta costante;
- il fluido non scambia lavoro con l’ambiente e sia gli effetti viscosi, che quelli delle forze gravitazionali, sono trascurabili;
- la produzione di entropia è trascurabile, in altre parole la trasformazione termofluidodinamica è considerata reversibile;
- l’unica forza spingente è lo scambio di calore lungo il condotto che dà luogo ad una variazione dell’entalpia totale H.
L’assenza di lavoro d’elica è una condizione facilmente riscontrabile nelle applicazioni pratiche e della trascurabilità degli effetti associati alle forze viscose si è prima discusso. Per alti valori del numero di Froude, è possibile trascurare le forze gravitazionali, mentre meno verosimile risulta non tener conto della produzione di entropia perché, oltre che agli sforzi viscosi qui non considerati, essa è associata sia allo scambio termico, che alle reazioni chimiche.
Altre applicazioni
- Leghe in fase di solidificazione: il numero di Rayleigh può essere utilizzato anche come criterio per prevedere le instabilità convettive, nella zona di fusione di una lega in fase di solidificazione.
- Mezzi porosi: il numero di Rayleigh si riferisce alla convezione in un fluido come l’aria o l’acqua, ma la convezione può verificarsi anche quando il fluido si trova all’interno di un mezzo poroso e lo riempie, come una roccia porosa satura d’acqua. In questo caso il numero di Rayleigh, talvolta chiamato numero di Rayleigh-Darcy, è diverso. In un fluido sfuso, cioè non in un mezzo poroso, dall’equazione di Stokes, la velocità di caduta di un dominio di dimensioni \(l\) di liquido \(u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta\). In un mezzo poroso, questa espressione è sostituita da quella della legge di Darcy \(u\sim \Delta \rho kg/\eta\), con \(k\) la permeabilità del mezzo poroso. Il numero di Rayleigh o Rayleigh-Darcy è quindi:
\[Ra=\dfrac{\rho\beta\Delta Tklg}{\eta\alpha}\] - Applicazioni geofisiche: in geofisica, il numero di Rayleigh è di fondamentale importanza: indica la presenza e la forza della convezione all’interno di un corpo fluido come il mantello terrestre. Il mantello è un solido che si comporta come un fluido su scale temporali geologiche.