La propulsione a razzo e la meccanica orbitale governano il volo spaziale. L’equazione di Tsiolkovsky lega la variazione di velocità al consumo di propellente; le leggi di Keplero e la gravitazione descrivono le orbite. Questa scheda allena i calcoli di base di missione e orbita.
Equazione del razzo: \;\Delta v=v_e\ln\dfrac{m_0}{m_f}, con v_e velocità di scarico, m_0 massa iniziale, m_f finale.
1. Equazione di Tsiolkovsky
Esercizio. Un razzo ha velocità di scarico v_e=3000\ \text{m/s}, massa iniziale m_0=5000\ \text{kg}, finale m_f=2000\ \text{kg}. Calcolare il \Delta v.
\Delta v=v_e\ln\dfrac{m_0}{m_f}=3000\times\ln\dfrac{5000}{2000}=3000\times\ln(2{,}5)=3000\times0{,}916=2749\ \text{m/s}.
Il \Delta v ottenibile dipende logaritmicamente dal rapporto di massa: per ottenerne molto serve consumare moltissimo propellente. È la “tirannia dell’equazione del razzo”.
2. Impulso specifico
Esercizio. Un motore ha velocità di scarico v_e=4000\ \text{m/s}. Calcolare l’impulso specifico (g_0=9{,}81\ \text{m/s}^2).
L’impulso specifico è la velocità di scarico normalizzata alla gravità:
I_{sp}=\dfrac{v_e}{g_0}=\dfrac{4000}{9{,}81}=408\ \text{s}.
L’I_{sp} (in secondi) misura l’efficienza del propellente: più è alto, più spinta per chilo di propellente. I motori chimici stanno sui 300–450 s, quelli ionici migliaia di secondi.
3. Rapporto di massa per una missione
Esercizio. Una missione richiede \Delta v=7000\ \text{m/s} con motore a v_e=3500\ \text{m/s}. Calcolare il rapporto di massa necessario.
Invertendo Tsiolkovsky:
\dfrac{m_0}{m_f}=e^{\Delta v/v_e}=e^{7000/3500}=e^{2}=7{,}39.
Serve una massa iniziale 7,4 volte quella finale: l’86\% del razzo è propellente. Il rapporto cresce esponenzialmente col \Delta v richiesto: missioni ambiziose richiedono razzi enormi o stadi multipli.
4. Velocità orbitale circolare
Esercizio. Calcolare la velocità di un satellite in orbita circolare bassa a r=6{,}7\times10^6\ \text{m} dal centro della Terra (GM=3{,}986\times10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2).
La velocità orbitale circolare:
v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=\sqrt{\dfrac{3{,}986\times10^{14}}{6{,}7\times10^6}}=\sqrt{5{,}95\times10^7}=7714\ \text{m/s}\approx7{,}7\ \text{km/s}.
Circa 7,7 km/s: la velocità della ISS. Più bassa l’orbita, più veloce il satellite (la gravità è più intensa).
5. Terza legge di Keplero
Esercizio. Un satellite ha periodo orbitale doppio di un altro. Quanto è più grande il suo semiasse maggiore?
La terza legge di Keplero lega periodo e semiasse: T^2\propto a^3.
\dfrac{a_2}{a_1}=\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^{2/3}=2^{2/3}=1{,}59.
Raddoppiando il periodo, il semiasse cresce di ~1,59 volte. La relazione T^2\propto a^3 permette di ricavare distanze orbitali dai periodi osservati, base dell’astronomia.
6. Velocità di fuga
Esercizio. Calcolare la velocità di fuga dalla superficie terrestre (r=6{,}37\times10^6\ \text{m}, GM=3{,}986\times10^{14}).
La velocità di fuga (energia totale nulla):
Circa 11,2 km/s: la velocità minima per sfuggire alla gravità terrestre. È \sqrt2 volte la velocità orbitale circolare alla stessa quota: relazione fondamentale tra orbita e fuga.
7. Massa di propellente da un requisito di missione
Esercizio. Uno stadio deve fornire \Delta v=2500\ \text{m/s} con I_{sp}=320\ \text{s}. La massa finale, cioè struttura più carico utile dopo il consumo, è m_f=5000\ \text{kg}. Calcolare massa iniziale e propellente richiesto.
Prima ricaviamo la velocità efficace di scarico:
Dal rapporto di massa:
Quindi:
Anche per un singolo incremento di velocità relativamente moderato, oltre metà della massa iniziale è propellente. Questo esercizio chiarisce perché il rapporto strutturale e la suddivisione in stadi sono decisivi.
8. Periodo di un’orbita circolare bassa
Esercizio. Per l’orbita del punto 4, con r=6{,}7\times10^6\ \text{m} e v=7714\ \text{m/s}, calcolare il periodo orbitale.
In un’orbita circolare la lunghezza della traiettoria è 2\pi r:
Convertendo in minuti:
Un satellite in orbita bassa compie quindi circa 16 giri al giorno. La velocità orbitale non basta a descrivere l’orbita: periodo e quota sono la traduzione operativa per copertura, comunicazioni e finestre di passaggio.
9. Trasferimento di Hohmann semplificato
Esercizio. Stimare il \Delta v impulsivo per trasferirsi da un’orbita circolare di raggio r_1=7000\ \text{km} a un’orbita geostazionaria di raggio r_2=42\,164\ \text{km}. Usare \mu=398\,600\ \text{km}^3/\text{s}^2 e trascurare perdite, inclinazione e manovre di assetto.
Velocità circolare iniziale:
La prima accensione porta l’apogeo a r_2:
Velocità circolare finale:
La seconda accensione circolarizza all’apogeo:
Il totale ideale è:
È un valore puramente impulsivo: nella missione reale si aggiungono perdite gravitazionali, perdite atmosferiche, correzioni di piano e margini. Serve però come ordine di grandezza per il budget di missione.
Errori comuni
- Usare la formula lineare per il \Delta v. Tsiolkovsky è logaritmica: il \Delta v non è proporzionale al propellente, ma al log del rapporto di massa.
- Confondere v_e e I_{sp}. L’impulso specifico è v_e/g_0 (in secondi); la velocità di scarico è in m/s.
- Dimenticare il 2 nella velocità di fuga. v_{fuga}=\sqrt{2GM/r}, fattore \sqrt2 rispetto all’orbitale \sqrt{GM/r}.
- Sbagliare gli esponenti di Keplero. T^2\propto a^3: il semiasse va come T^{2/3}, non T.
- Mescolare unità SI e chilometriche. Nelle orbite si può lavorare in metri o chilometri, ma \mu, raggi e velocità devono restare coerenti.
- Scambiare \Delta v ideale e prestazione reale. Un trasferimento impulsivo non include perdite, gravità, atmosfera e margini di guida.