L’aerodinamica del volo si fonda su due forze: la portanza che sostiene il velivolo e la resistenza che si oppone all’avanzamento. Entrambe dipendono dalla pressione dinamica e da coefficienti adimensionali. Questa scheda allena il calcolo delle forze aerodinamiche e l’equilibrio nel volo livellato.
Portanza: \;L=\dfrac{1}{2}\rho v^2 S\,C_L; resistenza: \;D=\dfrac{1}{2}\rho v^2 S\,C_D, con \rho densità aria, v velocità, S superficie alare.
1. Pressione dinamica
Esercizio. Un aereo vola a v=100\ \text{m/s} in aria con densità \rho=1{,}225\ \text{kg/m}^3. Calcolare la pressione dinamica.
q=\dfrac{1}{2}\rho v^2=\dfrac{1}{2}\times1{,}225\times100^2=\dfrac{1}{2}\times1{,}225\times10\,000=6125\ \text{Pa}.
La pressione dinamica è l’energia cinetica del flusso per unità di volume: il “motore” di portanza e resistenza. Cresce col quadrato della velocità.
2. Portanza
Esercizio. Lo stesso aereo ha superficie alare S=25\ \text{m}^2 e coefficiente di portanza C_L=0{,}5. Calcolare la portanza.
L=q\,S\,C_L=6125\times25\times0{,}5=76\,562\ \text{N}\approx76{,}6\ \text{kN}.
La portanza sostiene il velivolo. Dipende dalla pressione dinamica, dall’area alare e dal C_L (legato all’angolo d’attacco e al profilo).
3. Equilibrio nel volo livellato
Esercizio. Quale massa può sostenere in volo livellato la portanza del punto 2 (L=76{,}6\ \text{kN}, g=9{,}81\ \text{m/s}^2)?
In volo livellato la portanza eguaglia il peso (L=mg):
m=\dfrac{L}{g}=\dfrac{76\,562}{9{,}81}=7805\ \text{kg}.
L’aereo può volare livellato con massa fino a ~7,8 t a quelle condizioni. Se il peso supera la portanza, l’aereo scende; se è inferiore, sale.
4. Resistenza ed efficienza aerodinamica
Esercizio. Con C_D=0{,}04 (stesse condizioni del punto 2), calcolare la resistenza e l’efficienza aerodinamica.
Resistenza:
D=q\,S\,C_D=6125\times25\times0{,}04=6125\ \text{N}.
Efficienza aerodinamica (rapporto portanza/resistenza):
E=\dfrac{L}{D}=\dfrac{C_L}{C_D}=\dfrac{0{,}5}{0{,}04}=12{,}5.
L’efficienza E=L/D=12{,}5 dice che per ogni newton di resistenza si ottengono 12,5 N di portanza. Alta efficienza = volo economico e lunga autonomia.
5. Velocità di stallo
Esercizio. Con C_{L,max}=1{,}4, massa m=7805\ \text{kg}, S=25\ \text{m}^2, \rho=1{,}225, calcolare la velocità di stallo.
Lo stallo avviene alla velocità minima a cui la portanza massima eguaglia il peso:
Sotto ~60 m/s l’ala non genera portanza sufficiente: stallo. La velocità di stallo cresce con il peso e cala con superficie e C_{L,max} (da cui i flap all’atterraggio).
6. Effetto della quota
Esercizio. A 10 km di quota la densità scende a \rho=0{,}41\ \text{kg/m}^3. Per mantenere la stessa portanza del punto 2, come deve cambiare la velocità?
Per L costante, \rho v^2 deve restare invariato:
v_2=v_1\sqrt{\dfrac{\rho_1}{\rho_2}}=100\times\sqrt{\dfrac{1{,}225}{0{,}41}}=100\times\sqrt{2{,}99}=173\ \text{m/s}.
In quota, con aria rarefatta, serve volare più veloci (173 vs 100 m/s) per la stessa portanza. È il motivo per cui gli aerei di linea volano alti e veloci: aria rada = meno resistenza, ma serve più velocità.
7. Polare parabolica e resistenza indotta
Esercizio. Un velivolo vola con q=4000\ \text{Pa}, S=18\ \text{m}^2, C_L=0{,}70. La polare è C_D=C_{D0}+kC_L^2, con C_{D0}=0{,}025 e k=0{,}045. Calcolare C_D, portanza, resistenza ed efficienza.
Calcoliamo prima il coefficiente di resistenza:
Poi le forze:
L’efficienza aerodinamica vale:
La quota C_{D0} rappresenta la resistenza parassita; il termine kC_L^2 rappresenta la resistenza indotta, legata alla generazione di portanza. Aumentare C_L non aumenta soltanto L: aumenta anche la penalità indotta.
8. Volo in virata e velocità di stallo
Esercizio. Un aeroplano ha velocità di stallo in volo livellato v_s=60\ \text{m/s}. In una virata coordinata a banco \phi=45^\circ, calcolare il fattore di carico e la nuova velocità di stallo.
In virata coordinata la portanza deve sostenere il peso apparente:
Poiché la portanza richiesta cresce di un fattore n, la velocità di stallo cresce con \sqrt n:
La virata aumenta il carico aerodinamico sull’ala: a 45° di banco lo stallo arriva circa il 19\% prima in termini di velocità. È una verifica essenziale nelle manovre a bassa quota e in avvicinamento.
9. Potenza propulsiva richiesta
Esercizio. Alla condizione del punto 4 la resistenza è D=6125\ \text{N} e la velocità è v=100\ \text{m/s}. Calcolare la potenza utile richiesta e la potenza all’albero con rendimento propulsivo \eta_p=0{,}80.
La potenza utile necessaria a vincere la resistenza è:
La potenza meccanica richiesta al motore è maggiore:
La resistenza è una forza, ma il motore deve fornire potenza: a pari D, volare più veloce richiede più potenza. Nei problemi di prestazioni non basta verificare L=W; bisogna anche verificare che la propulsione copra D\,v.
Errori comuni
- Dimenticare il \dfrac{1}{2} nella pressione dinamica. q=\dfrac{1}{2}\rho v^2: ometterlo raddoppia forze e velocità.
- Confondere portanza e peso. In volo livellato sono uguali (L=mg), ma sono forze distinte: la portanza è aerodinamica.
- Trascurare la dipendenza dalla densità. In quota \rho cala: stessa portanza richiede più velocità o C_L maggiore.
- Ignorare il quadrato della velocità. Portanza e resistenza vanno con v^2: piccoli aumenti di velocità cambiano molto le forze.
- Valutare lo stallo solo in volo rettilineo. In virata o manovra il fattore di carico aumenta la portanza richiesta e quindi la velocità di stallo.
- Dimenticare la potenza. Un equilibrio di forze possibile aerodinamicamente può essere impossibile se il motore non fornisce la potenza richiesta.