L’equazione di Tsiolkovsky, o equazione del razzo ideale, lega la variazione di velocità \Delta v ottenibile da un razzo alla velocità efficace di efflusso e al rapporto tra massa iniziale e massa finale:
dove v_e è la velocità efficace di efflusso, m_0 la massa iniziale e m_f la massa finale dopo il consumo di propellente. Poiché v_e=I_{sp}g_0, la stessa relazione si scrive:
con I_{sp} impulso specifico e g_0 accelerazione standard di gravità.
Rapporto di massa
Il punto cruciale è il logaritmo: il delta-v cresce solo logaritmicamente col rapporto di massa, cioè sempre più lentamente. Per ottenere più \Delta v serve una crescita esponenziale del rapporto tra massa iniziale e massa finale.
Invertendo la formula:
La dipendenza esponenziale è la “tirannia dell’equazione del razzo”: raddoppiare la \Delta v richiede di elevare al quadrato il rapporto di massa. Per raggiungere l’orbita bassa terrestre un lanciatore reale deve fornire circa 9-10\ \mathrm{km/s} di \Delta v includendo perdite gravitazionali, atmosferiche e di traiettoria; per questo la massa di propellente domina la massa iniziale.
Stadi e somma dei contributi
Per un lanciatore a più stadi, l’equazione si applica stadio per stadio:
La separazione degli stadi serve a non accelerare serbatoi e strutture ormai vuoti. Non viola la formula: migliora il rapporto di massa efficace di ogni segmento della missione.
Ipotesi del modello ideale
L’equazione di Tsiolkovsky assume:
| Ipotesi | Conseguenza |
|---|---|
| nessuna resistenza aerodinamica | niente perdite di drag |
| nessuna gravità esterna durante l’impulso | niente perdite gravitazionali |
| velocità di efflusso costante | v_e resta fisso durante la combustione |
| moto monodimensionale ideale | niente perdite di puntamento o assetto |
Nella progettazione reale il budget di missione aggiunge margini e perdite alla \Delta v ideale. L’equazione resta però il vincolo fondamentale che spiega perché efficienza propulsiva, massa strutturale e staging dominano il progetto dei lanciatori.
Vedi anche: Razzo, Delta-v, Rapporto di massa, Impulso specifico, Spinta propulsiva.