Derivata sostanziale

La derivata sostanziale (o derivata materiale, o derivata di trasporto) $D/Dt$ è l’operatore differenziale che misura la variazione nel tempo di una grandezza fisica seguendo il moto di una specifica particella fluida, a differenza della derivata parziale $\partial/\partial t$ che misura la variazione in un punto fisso dello spazio.

Per una generica grandezza scalare $f$ vale la decomposizione:

$$\dfrac{Df}{Dt} = \dfrac{\partial f}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla)f$$

Il primo termine, $\partial f / \partial t$, è il termine locale (variazione nel tempo a posizione fissa); il secondo, $(\mathbf{V} \cdot \nabla)f$, è il termine convettivo (variazione dovuta al trasporto della particella attraverso il campo di $f$).

Applicata al vettore velocità $\mathbf{V}$, la derivata sostanziale fornisce l’accelerazione della particella fluida:

$$\dfrac{D\mathbf{V}}{Dt} = \dfrac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla)\mathbf{V}$$

In regime stazionario il termine locale si annulla, ma il termine convettivo rimane non nullo ovunque il campo di velocità sia non uniforme. L’equazione di Eulero e quella di Navier-Stokes utilizzano entrambe la derivata sostanziale per esprimere la seconda legge della dinamica in forma euleriana.