Numero di Rayleigh

Il numero di Rayleigh (Ra) è un parametro adimensionale che esprime la relazione tra tutte le azioni che contribuiscono positivamente al moto in un fluido (forza fluttuante) e tutto ciò che si oppone negativamente (viscosità e diffusività termica):

\[Ra=\dfrac{F_g}{\mu\alpha}\]

È, quindi, possibile capire se c’è moto, o no, in condizioni di convezione naturale; oppure se, per effetto della forza fluttuante risultante dal campo di densità, che a sua volta è una conseguenza del campo di temperatura, si innesca o meno un movimento nel fluido. Il numero di Rayleigh, per i fluidi newtoniani e di Fourier, può essere calcolato mediante l’approssimazione di Oberbeck-Boussines. Può essere espresso come il prodotto del numero di Grashof e del numero di Prandtl:

\[Ra=Gr\cdot Pr=\dfrac{g\beta_0 (T_s-T_i)L^3}{\nu\alpha_0}\]

Dove: \(\beta_0\) è l’espansione termica alla temperatura \(T_0\); \(T_s-T_i\) è la differenza di temperatura tra la superficie superiore e quella inferiore; \(g\) è il modulo di accelerazione di gravità; \(L\) è una dimensione lineare caratteristica del fenomeno in esame; \(\nu\) è la viscosità cinematica del materiale; \(\alpha_0\) è la diffusività termica alla temperatura \(T_0\).

Nel caso in cui il numero di Rayleigh sia inferiore al valore critico (pari a 1708), le spinte di galleggiamento dovute ai gradienti di densità all’interno del fluido non riescono a vincere l’opposizione della viscosità cinematica: il moto non si manifesta e lo scambio di calore avviene per semplice conduzione. Viceversa, se Ra > 1708, le spinte sono tali da permettere il superamento della resistenza imposta dal prodotto \(\mu\alpha\) e, quindi, si manifesta il moto di convezione: siamo in regime di convezione naturale .

In campo industriale sono numerose le situazioni in cui un fluido si muove all’interno di un condotto, in regime comprimibile, scambiando energia sotto forma di calore e, quindi, variando la sua entalpia totale. Esempi tipici sono gli scambiatori di calore e le camere di combustione di sistemi aperti. Il modello del moto di Rayleigh si basa sui seguenti presupposti:

  • il moto è quasi unidimensionale e quasi stazionario;
  • si presume che l’area della sezione trasversale del fluido che passa attraverso il condotto sia costante;
  • il fluido non scambia lavoro con l’ambiente e sia gli effetti viscosi che le forze gravitazionali sono trascurabili;
  • la produzione di entropia è trascurabile, in altre parole la trasformazione termofluidodinamica è considerata reversibile;
  • l’unica forza di spinta è lo scambio termico lungo il condotto, che dà luogo ad una variazione dell’entalpia totale H.

Per valori elevati del numero di Froude, è possibile trascurare le forze gravitazionali, mentre è meno probabile che trascuri la produzione di entropia perché, oltre alle sollecitazioni viscose qui non considerate, è associata sia al trasferimento di calore che alle reazioni chimiche.

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