Trasformazioni del Piano

Una trasformazione del piano è un’applicazione $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ (o da $\Pi$ in sé, dove $\Pi$ è il piano euclideo). Le trasformazioni si classificano in base alle proprietà geometriche che conservano.

Traslazioni

Una traslazione di vettore $\vec{t} = (t_1, t_2)$ è la mappa:

$T_{\vec{t}}: (x, y) \mapsto (x + t_1,\; y + t_2)$

Le traslazioni conservano distanze, angoli, aree e orientazione. Non hanno punti fissi (a meno che $\vec{t} = \vec{0}$). L’insieme di tutte le traslazioni forma un gruppo abeliano rispetto alla composizione.

In coordinate omogenee (utile per la composizione con rotazioni e altre trasformazioni):

$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & t_1\\0 & 1 & t_2\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$

Rotazioni

Una rotazione di angolo $\theta$ attorno all’origine è la mappa lineare:

$R_\theta: (x, y) \mapsto (x\cos\theta - y\sin\theta,\; x\sin\theta + y\cos\theta)$

La matrice di rotazione è:

$R_\theta = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$

con $\det(R_\theta) = 1$ e $R_\theta^{-1} = R_{-\theta} = R_\theta^T$. Le matrici di rotazione formano il gruppo $SO(2)$.

La rotazione di angolo $\theta$ attorno a un punto $P = (a, b)$ si ottiene componendo: traslazione di $-\vec{P}$, rotazione di $\theta$ attorno all’origine, traslazione di $+\vec{P}$.

Riflessioni rispetto a rette

La riflessione rispetto alla retta passante per l’origine di direzione $\theta$ (angolo con l’asse $x$) ha matrice:

$S_\theta = \begin{pmatrix}\cos 2\theta & \sin 2\theta\\\sin 2\theta & -\cos 2\theta\end{pmatrix}$

con $\det(S_\theta) = -1$, che segnala l’inversione di orientazione. La composizione di due riflessioni rispetto a rette che si intersecano nell’angolo $\alpha$ produce una rotazione di $2\alpha$.

Riflessioni notevoli: asse $x$ → $(x,y)\mapsto(x,-y)$; asse $y$ → $(x,y)\mapsto(-x,y)$; bisettrice $y=x$ → $(x,y)\mapsto(y,x)$.

Omotetie e similitudini

Un’omotetia di centro $O$ e rapporto $k \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ è la mappa $(x,y) \mapsto (kx, ky)$. Conserva le direzioni ma scala le distanze del fattore $|k|$.

Una similitudine è una composizione di un’omotetia con un’isometria (traslazione, rotazione o riflessione). Le similitudini conservano gli angoli e portano figure simili in figure simili. Una similitudine diretta (con orientazione conservata) ha la forma:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = k\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$

Affinità del piano

Un’affinità (o trasformazione affine) è una mappa $f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{t}$ con $A \in GL(2,\mathbb{R})$ (matrice $2\times 2$ invertibile) e $\vec{t} \in \mathbb{R}^2$. Le affinità conservano:

• Il parallelismo tra rette
• I rapporti di divisione su una retta
• Le aree (fino al fattore $|\det A|$)

Non conservano necessariamente lunghezze né angoli. In coordinate omogenee si rappresentano con una matrice $3 \times 3$ invertibile.

Le affinità del piano formano il gruppo affine $\mathrm{Aff}(2)$. Casi particolari: traslazioni, rotazioni, riflessioni, omotetie, transvettori (shear), dilatazioni assiali.

Isometrie del piano e classificazione

Un’isometria è una trasformazione che conserva la distanza euclidea: $d(f(P), f(Q)) = d(P, Q)$ per ogni coppia di punti $P, Q$.

Tipo	Invarianti	Orientazione	Punti fissi
Traslazione (non banale)	distanze, angoli	conservata	nessuno
Rotazione (non banale)	distanze, angoli	conservata	il centro
Riflessione	distanze, angoli	invertita	la retta asse
Riflessione con scorrimento (glide reflection)	distanze, angoli	invertita	nessuno

Il teorema di classificazione delle isometrie del piano afferma che queste sono esattamente i quattro tipi elencati. Le isometrie dirette (che conservano l’orientazione) formano un sottogruppo: sono le traslazioni e le rotazioni.

Applicazioni ingegneristiche

• Grafica 2D e CAD: le trasformazioni affini sono la base di qualsiasi pipeline di rendering 2D; traslazioni, rotazioni e scale si compongono moltiplicando le matrici $3 \times 3$ in coordinate omogenee.
• Robotica planare: la cinematica di un robot piano è descritta da sequenze di traslazioni e rotazioni nello spazio di configurazione.
• Cristallografia: la classificazione delle simmetrie dei cristalli bidimensionali si basa sulle isometrie del piano (gruppi wallpaper).
• Analisi delle immagini: le trasformazioni affini modellano le distorsioni di prospettiva e vengono usate per la correzione e la registrazione di immagini.